. Questão: 60% pontos
Considere o escoamento de Poiseuille no interior de um canal plano composto por duas placas paralelas separadas por uma distância
e de largura
. O escoamento é promovido por um gradiente de pressâto dado por
a. Estabelecer o modelo físico.
b. Estabelecer o modelo diferencial simplificado para esse problema, supondo fluido newtoniano, escoamento incompressível, regime permanente, escoamento desenvolvido. Se necessário podem ser feitas outras hipóteses (justificar). Apenas o modelo dinâmico.
c. Determinar o modelo contínuo para a velocidade do fluido, utilizando a integração do modelo matemático diferencial.
d. Como aplicação, calcular a vazão em função dos dados. Calcular a potência necessária para bombear o fluido.
e. Calcular a taxa de transformação de energia pelos efeitos viscosos e mostrar que a potência de transformação energética é igual à potência de bombeamento.
Considere o escoamento de Poiseuille no interior de um canal plano composto por duas placas paralelas separadas por uma distância
a. Estabelecer o modelo físico.
b. Estabelecer o modelo diferencial simplificado para esse problema, supondo fluido newtoniano, escoamento incompressível, regime permanente, escoamento desenvolvido. Se necessário podem ser feitas outras hipóteses (justificar). Apenas o modelo dinâmico.
c. Determinar o modelo contínuo para a velocidade do fluido, utilizando a integração do modelo matemático diferencial.
d. Como aplicação, calcular a vazão em função dos dados. Calcular a potência necessária para bombear o fluido.
e. Calcular a taxa de transformação de energia pelos efeitos viscosos e mostrar que a potência de transformação energética é igual à potência de bombeamento.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
- Pedido (resumido):
(a) estabelecer o modelo físico;
(b) obter o modelo diferencial simplificado (dinâmico) assumindo fluido newtoniano, incompressível, permanente e escoamento desenvolvido;
(c) integrar esse modelo para obter a velocidade contínua;
(d) calcular a vazãoem função dos dados e a potência necessária para bombear o fluido;
(e) calcular a taxa de transformação de energia pelos efeitos viscosos (dissipação) e mostrar que ela é igual à potência de bombeamento.\n - Dados geométricos e parâmetros (dados do enunciado):
- distância entre as placas:
(separação entre placas); - largura (no terceiro eixo, perpendicular ao plano do gap):
(largura da placa, dimensão para a profundidade do canal); - gradiente de pressão aplicado ao longo da direção de escoamento:
(unidade ); - fluido newtoniano e viscosidade dinâmica constante:
.\n
- distância entre as placas:
- Observações úteis para a resolução: as incógnitas principais serão o perfil de velocidade
, a vazão , a potência de bombeamento (por unidade de comprimento ou para um comprimento ) e a taxa de dissipação por viscosidade. Não foi dado comprimento explicitamente, então poderão ser dadas expressões por unidade de comprimento ou para um comprimento (vou indicar ambas onde fizer sentido).
Passo 2
Modelo físico (descrição clara do problema)\n
- Geometria: canal plano formado por duas placas paralelas, separadas por
, e de largura (profundidade) (constante). Vamos usar um sistema de coordenadas cartesianas com: = direção do escoamento (longitudinal), = direção normal às placas (varia de até ), e = direção da largura (essa direção é homogênea e não haverá variação em ).\n - Condições nas paredes: aderência (no-slip), portanto
tangencial nula nas paredes em e .\n - Tipo de escoamento: unidimensional (apenas componente de velocidade na direção
), permanente, incompressível, escoamento desenvolvido (varição nula de velocidade ao longo de salvo pelo gradiente de pressão), sem forças de volume relevantes (gravidade desprezível ou alinhada de modo que não afete o perfil), viscosidade constante (fluido newtoniano). Essas hipóteses serão justificadas e usadas para simplificar as equações de Navier–Stokes no próximo passo.\n - Resultado físico esperado: um perfil parabólico de velocidade entre as placas (fluxo de Poiseuille plano) e fórmulas para
e .
Passo 3
Modelo diferencial simplificado (derivação a partir das equações de Navier–Stokes)\n
- Escrever as equações completas e explicar as hipóteses usadas\n
- Equação de conservação de massa (incompressibilidade):
onde
é o campo de velocidades. Aqui, pelo modelo, só teremos componente
, que chamarei apenas de
.\n
- Equações de Navier–Stokes (momentum) para um fluido newtoniano e viscosidade constante:
onde
é a densidade,
a pressão e
forças de volume (por exemplo gravidade).\n
2) Aplicar hipóteses e justificar a eliminação de termos\n
2) Aplicar hipóteses e justificar a eliminação de termos\n
- Escoamento permanente:
. - Escoamento unidirecional totalmente desenvolvido:
e . Isso significa que não há variação do perfil ao longo de (o perfil já assumiu forma fixa). - Não há variação em
(largura muito grande ou contorno confinado mas homogêneo), então . - As componentes convectivas
tornam-se zero porque depende apenas de e não há componente de velocidade em ou . - Forças de volume
desprezíveis (ou incorporadas no gradiente de pressão); aqui vou assumir ou que seu efeito não altera a relação principal.\n
- Resultado para a componente
da equação do movimento\n
Com essas hipóteses, a única equação não-trivial é a componente em:
Explicação: o termo inercial
é zero por escoamento desenvolvido/unidimensional; a laplaciana reduz a
porque não há dependência em
nem em
.\n
4) Condições de contorno para completar o modelo dinâmico\n
4) Condições de contorno para completar o modelo dinâmico\n
- No-slip nas paredes:
Essas condições serão usadas na integração da equação ordinária acima.\n
Portanto, o modelo diferencial dinâmico obtido é:
Portanto, o modelo diferencial dinâmico obtido é:
Passo 4
Integração do modelo diferencial para obter o perfil de velocidade
\n
- Escrevendo a equação ODE para integrar:
Aqui
é dado (constante), e
é constante.\n
2) Integração uma vez: calcular \n
Integrando em :
2) Integração uma vez: calcular
Integrando em
onde
é constante de integração.\n
3) Integração segunda vez: obter \n
Integrando novamente:
3) Integração segunda vez: obter
Integrando novamente:
com
outra constante de integração. Dividindo por
:
- Determinar constantes
pelas condições de contorno\n
- Em
: dá - Em
: dá
Multiplicando por
e resolvendo para
:
- Substituir
em \n
- Interpretar sinal e escrever em forma usual com gradiente positivo\n
É comum definir o gradiente positivo de “força motriz” como(ou seja, quando a pressão decresce na direção positiva ). Com essa definição:
Essa forma deixa claro que
no intervalo
quando
. Ambas as formas são matematicamente equivalentes.
Passo 5
Cálculo da vazão volumétrica
\n
- Definição: a vazão volumétrica é a integral do campo de velocidade sobre a seção transversal. A seção tem largura
e espessura em de a . Assim, por unidade de comprimento em :
- Substituir o perfil
(uso de para clareza):
- Calcular a integral passo a passo:\n
Portanto
- Substituindo de volta:
Voltando ao gradiente original
(com
):
Essa é a vazão em função dos dados
e do gradiente de pressão
.\n
Observação: o sinal indica que se (pressão decresce na direção positiva
), então
(escoamento no sentido positivo
).
Observação: o sinal indica que se
Passo 6
Potência necessária para bombear o fluido (potência de bombeamento)\n
- Relação geral: potência fornecida pela bomba (potência hidráulica) para manter o escoamento é a taxa de trabalho feita pela força de pressão, dada por
onde é a queda de pressão entre entrada e saída. Para um segmento de comprimento , a queda de pressão é . Portanto a potência total para comprimento é:
- Substituir
:
- Potência por unidade de comprimento (caso não se queira introduzir
):\n
- Em termos de
(retrocedendo ):
Essas expressões dão a potência que a bomba deve fornecer para vencer a perda de pressão e manter o fluxo.
Passo 7
Taxa de transformação de energia por efeitos viscosos (dissipação) e demonstração da igualdade com a potência de bombeamento\n
- Expressão local da dissipação viscosa por unidade de volume\n
Para um fluido newtoniano incompressível, a taxa de transformação de energia mecânica em calor por unidade de volume é (no caso unidimensional com apenasnão-nula):
onde
(já que
e
). Logo
Explicação:
é potência por unidade de volume dissipada em calor por ação das tensões viscosas; no caso só há a componente de corte
.\n
2) Derivar a partir do perfil encontrado\n
Usando , temos
2) Derivar
Usando
- Calcular a dissipação total por unidade de comprimento
(integrar sobre a seção transversal)\n
Volume por unidade de comprimento é. Então a potência dissipada por unidade de comprimento é:
Simplificando o coeficiente:
- Calcular a integral
\n
Expanda e integre:
- Substituir na expressão de
por comprimento:
- Comparar com a potência de bombeamento por unidade de comprimento\n
Na Passo 6 vimos
Portanto:
Conclusão: a potência fornecida pela bomba é totalmente dissipada pelo atrito viscoso dentro do fluido (em regime permanente, sem acumulação de energia cinética), ou seja, potência de transformação energética por viscosidade é igual à potência de bombeamento.
Passo 8
Resumo final das fórmulas úteis (relembrando interpretações)\n
- Perfil de velocidade (entre
e ):
com
\n
- Vazão volumétrica (por unidade de comprimento axial
ou total, conforme ):
- Potência de bombeamento (para comprimento
):\n
- Potência por unidade de comprimento:\n
- Dissipação viscosa total por unidade de comprimento (integração de
):\n
E portanto
.\n
Se quiser números concretos, basta substituir e o valor numérico de
(ou
e
) nas fórmulas acima. Força final de incentivo: você já tem aqui o passo a passo completo — na prova, escreva as hipóteses, derive a ODE, integre com as condições e calcule as integrais; é exatamente essa sequência que conta.
Se quiser números concretos, basta substituir
Resposta
(a) Canal plano entre duas placas paralelas separadas por
, largura
, escoamento unidimensional na direção
, condições de aderência
; fluido newtoniano, incompressível, regime permanente e escoamento desenvolvido (essas hipóteses definem o modelo físico).
(b) Modelo diferencial dinâmico:
(b) Modelo diferencial dinâmico:
(c) Perfil de velocidade contínuo:
(d) Vazão e potência de bombeamento:
e por unidade de comprimento
(e) Taxa de transformação de energia por viscosidade (dissipação) e igualdade com potência de bombeamento:
(e) Taxa de transformação de energia por viscosidade (dissipação) e igualdade com potência de bombeamento: