Seja um ventilador de 450 mm de diâmetro que trabalha com uma vazão de 5000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} a uma pressão de 12 mmca consumindo uma potência de 480 W . Determinar a vazão, a pressão e a potência requerida para um ventilador geometricamente semelhante com diâmetro de 630 mm .
\begin{aligned} & \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{3} \Rightarrow Q_{2}=5000\left(\frac{630}{450}\right)^{3} \Rightarrow Q_{2}=13720 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} \\\ & \frac{P_{2}}{P_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2} \Rightarrow P_{2}=12\left(\frac{630}{450}\right)^{2} \Rightarrow P_{2}=23,5 \mathrm{mmca} \\\ & \frac{P_{o t}}{P o t_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{5} \Rightarrow P_{o t}=480\left(\frac{630}{450}\right)^{5} \Rightarrow P_{o t}=2582 \mathrm{~W} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um ventilador inicial com as seguintes informações:
D_{1}=450\\ \mathrm{mm},\quad Q_{1}=5000\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h},\quad P_{1}=12\\ \mathrm{mmca},\quad \mathrm{Pot}_{1}=480\\ \mathrm{W}.
Pede-se determinar a vazão, a pressão e a potência para um ventilador geometricamente semelhante com
D_{2}=630\\ \mathrm{mm}.
Ou seja, as incógnitas são Q_{2}, P_{2} e \mathrm{Pot}_{2}.

Passo 2

Para resolver precisamos usar as leis de semelhança geométrica (as chamadas leis de afinidade) que relacionam grandezas de máquinas geometricamente semelhantes. Vou explicar passo a passo por que cada relação vale:
  • Definição das variáveis:
    Q=\text{vazão volumétrica},\quad D=\text{diâmetro característico},\quad N=\text{velocidade de rotação (rpm)},\quad H=\text{pressão ou altura (head)},\quad \mathrm{Pot}=\text{potência}.ãéâíçããê
  • Ideia física para Q: a vazão é área vezes velocidade média do fluido. A área característica escala com D^{2}. A velocidade típica imposta pela hélice escala com a velocidade periférica, proporcional a N D. Logo
    Q\propto (\text{área})\times(\text{velocidade}) \;\Rightarrow\; Q\propto D^{2}\cdot (N D)=N D^{3}.á
    Assim, para mesma rotação N (caso mais comum quando não nos dizem outra coisa), tem-se Q\propto D^{3}.
  • Ideia física para a pressão H: pressões dinâmicas típicas variam como densidade vezes velocidade ao quadrado. Como a velocidade característica é \sim N D,
    H\propto (N D)^{2}=N^{2}D^{2}.
    Para mesma N, H\propto D^{2}.
  • Ideia física para a potência \mathrm{Pot}: potência útil escala como produto de vazão por pressão (energia por volume \times volume por tempo), logo
    \mathrm{Pot}\propto Q\cdot H \propto (N D^{3})\cdot(N^{2}D^{2})=N^{3}D^{5}.
    Para mesma N, \mathrm{Pot}\propto D^{5}.
  • Conclusão das razões (assumindo mesma N, o que é necessário quando o enunciado não cita mudança de velocidade):
    \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{3},\qquad \frac{P_{2}}{P_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2},\qquad \frac{\mathrm{Pot}_{2}}{\mathrm{Pot}_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{5}.
    Eu explicitei o porquê físico (área, velocidade, pressão dinâmica, potência = vazão×pressão) para você poder justificar na prova.

Passo 3

Calculemos a razão geométrica:
r=\frac{D_{2}}{D_{1}}=\frac{630}{450}=\frac{7}{5}=1,4.

Passo 4

Calcular Q_{2} usando \displaystyle \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=r^{3}:
r^{3}=\left(\frac{7}{5}\right)^{3}=\frac{343}{125}=2,744.
Q_{2}=Q_{1}\cdot r^{3}=5000\cdot 2,744=13\,720\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
(Usei multiplicação direta: 5000\times2,744=13\,720.)

Passo 5

Calcular P_{2} usando \displaystyle \frac{P_{2}}{P_{1}}=r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}=1,96.
P_{2}=P_{1}\cdot r^{2}=12\\ \mathrm{mmca}\times 1,96=23,52\\ \mathrm{mmca}.
(Arredondamento comum: 23,52\\ \mathrm{mmca}\approx 23,5\\ \mathrm{mmca}.)

Passo 6

Calcular \mathrm{Pot}_{2} usando \displaystyle \frac{\mathrm{Pot}_{2}}{\mathrm{Pot}_{1}}=r^{5}:
r^{5}=\left(\frac{7}{5}\right)^{5}=\frac{16807}{3125}\approx 5,37824.
\mathrm{Pot}_{2}=\mathrm{Pot}_{1}\cdot r^{5}=480\cdot 5,37824\approx 2\,581,56\\ \mathrm{W}.
(Arredondando: \mathrm{Pot}_{2}\approx 2\,582\\ \mathrm{W}.)

Resposta

Q_{2}=13\,720\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}
P_{2}=23,52\\ \mathrm{mmca}
\mathrm{Pot}_{2}=2\,581,56\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados