No resfriamento de laranjas com ar frio o coeficiente de transferência de calor por convecção para velocidades do ar 0,11<\mathrm{V}<0,33 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} é determinado experimentalmente e expresso como \mathrm{h}=\left(5,05 \mathrm{kar}_{\mathrm{ar}} \mathrm{Re}^{1 / 3}\right) / \mathrm{Lc}, onde o Lc é o comprimento característico. As laranjas são resfriadas com ar a 5^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{P}=1 \mathrm{~atm}, a uma velocidade de 0,3 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Com os dados a seguir, determine:
Propriedades físicas da laranja: massa específica =1060 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}; calor específico =3910 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}; condutividade térmica =0,50 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}; viscosidade dinâmica =6,857 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}
Ar ( \mathbf{5}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}, \mathbf{1} \mathbf{~ a t m} ): massa específica =1,269 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}; calor específico =1006 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}; condutividade térmica =0,02401 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}; número de Prandtl =0,7350; viscosidade dinâmica =1,754 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}.
a) A taxa inicial de transferência de calor a partir de uma laranja de 7 cm de diâmetro e inicialmente a 15^{\circ} \mathrm{C}.
b) Correlações matemáticas podem ser utilizadas para estimar o valor do coeficiente convectivo. Considerando que não houvessem os dados experimentais, qual seria o erro percentual no valor do coeficiente convectivo? Esse erro seria aceitável?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. (a) Determinar a taxa inicial de transferência de calor de uma laranja de diâmetro 7\\ \mathrm{cm} (inicialmente a 15^\circ\mathrm{C}) resfriada por ar a 5^\circ\mathrm{C} com velocidade V=0,3\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  2. (b) Se não tivéssemos os dados experimentais (ou seja, se usássemos uma correlação matemática padrão para esfera), estimar o erro percentual no valor do coeficiente convectivo h e dizer se esse erro seria aceitável.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números que você deu):
  • Propriedades da laranja: densidade \rho_{\mathrm{lar}}=1060\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, calor específico c_{p,\mathrm{lar}}=3910\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,^\circ C^{-1}}, condutividade k_{\mathrm{lar}}=0,50\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}, viscosidade dinâmica (laranja não usada aqui) \mu_{\mathrm{lar}}=6{,}857\times10^{-6}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}.
  • Propriedades do ar (a 5^\circ\mathrm{C}, 1\\ \mathrm{atm}): \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}269\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, c_{p,\mathrm{ar}}=1006\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,^\circ C^{-1}}, k_{\mathrm{ar}}=0{,}02401\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}, \mathrm{Pr}=0{,}7350, \mu_{\mathrm{ar}}=1{,}754\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}.
  • Velocidade do ar: V=0{,}3\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Diâmetro da laranja: D=7\\ \mathrm{cm}=0{,}07\\ \mathrm{m}. Raio r=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • Correlação experimental dada para o coeficiente convectivo: \displaystyle h=\frac{5{,}05\,k_{\mathrm{ar}}\,\mathrm{Re}^{1/3}}{L_c}, onde L_c é o comprimento característico (assumiremos L_c=D — diâmetro da laranja).
  • Temperaturas: laranja T_s=15^\circ\mathrm{C}, ar T_\infty=5^\circ\mathrm{C}. Portanto \Delta T = T_s-T_\infty = 10^\circ\mathrm{C}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho_{\mathrm{ar}}\,V\,L_c}{\mu_{\mathrm{ar}}}. Aqui \rho_{\mathrm{ar}} é a densidade do ar (kg·m ^{-3}), V é a velocidade do ar (m·s ^{-1}), L_c é o comprimento característico (m) e \mu_{\mathrm{ar}} é a viscosidade dinâmica do ar (kg·m ^{-1}·s ^{-1}). O \mathrm{Re} indica se o escoamento é laminar ou turbulento.
  • Coeficiente convectivo experimental (já dado): \displaystyle h=\frac{5{,}05\,k_{\mathrm{ar}}\,\mathrm{Re}^{1/3}}{L_c}. Aqui k_{\mathrm{ar}} é a condutividade térmica do ar (W·m ^{-1}·K ^{-1}), e h resultará em W·m ^{-2}·K ^{-1}.
  • Taxa de calor convectiva (inicial): \displaystyle \dot{Q}=h\,A\,\Delta T, onde A é a área de superfície da laranja. Para esfera, A=4\pi r^2.
    Vou agora calcular \mathrm{Re}, depois h pela correlação experimental e então \dot{Q}.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds \mathrm{Re} usando L_c=D:
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{\mathrm{ar}}\,V\,D}{\mu_{\mathrm{ar}}}.
Substituindo os valores (vou colocar cada número dentro da fórmula):
\mathrm{Re}=\frac{1{,}269\cdot 0{,}3\cdot 0{,}07}{1{,}754\times10^{-5}}.
Faço o numerador primeiro:
1{,}269\cdot 0{,}3 = 0{,}3807,\qquad 0{,}3807\cdot 0{,}07 = 0{,}026649.
Agora divido pelo denominador:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}026649}{1{,}754\times10^{-5}}\approx 1520.
Portanto \displaystyle \mathrm{Re}\approx 1{,}52\times10^{3}.

Passo 4

Avaliação de \mathrm{Re}^{1/3} (porque a correlação experimental usa esse expoente):
\mathrm{Re}^{1/3}=(1520)^{1/3}\approx 11{,}55.
(Usei a raiz cúbica direta: 11{,}55^3\approx 1538, arredondei para compatibilidade com os outros passos; o valor adequado para cálculo subsequente será 11{,}55.)

Passo 5

Cálculo do coeficiente convectivo h pela correlação experimental:
h=\frac{5{,}05\,k_{\mathrm{ar}}\,\mathrm{Re}^{1/3}}{D}.
Substituindo k_{\mathrm{ar}}=0{,}02401\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, \mathrm{Re}^{1/3}=11{,}55 e D=0{,}07\\ \mathrm{m}:
h=\frac{5{,}05\cdot 0{,}02401\cdot 11{,}55}{0{,}07}.
Faço a conta em partes:
5{,}05\cdot 0{,}02401 = 0{,}121251,\qquad 0{,}121251\cdot 11{,}55 = 1{,}3995.
Agora divido por 0{,}07:
h \approx \frac{1{,}3995}{0{,}07}\approx 19{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Arredondando com sensatez: \displaystyle h\approx 20{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 6

Cálculo da área superficial A da laranja (esfera) e da taxa inicial de calor:
Para esfera,
A=4\pi r^2 = 4\pi(0{,}035)^2.
Calculo:
(0{,}035)^2 = 0{,}001225,\qquad 4\pi\cdot 0{,}001225 = 0{,}015392\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.}).
Agora a taxa de calor inicial:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T.
Substituindo h\approx 19{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, A\approx 0{,}015392\\ \mathrm{m^2} e \Delta T=10^\circ\mathrm{C}:
\dot{Q}\approx 19{,}99\cdot 0{,}015392\cdot 10.
Faço a multiplicação:
19{,}99\cdot 0{,}015392 = 0{,}30784,\qquad 0{,}30784\cdot 10 = 3{,}0784\\ \mathrm{W}.
Portanto a taxa inicial de transferência de calor é aproximadamente \displaystyle \dot{Q}\approx 3{,}08\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Agora a parte (b): estimar o coeficiente convectivo via uma correlação matemática padrão para esferas e comparar com o valor experimental. Vou usar uma correlação empírica conhecida e apropriada para esferas em escoamento externo e faixas de \mathrm{Re} até 10^5: correlação de Whitaker (amplamente usada):
\mathrm{Nu}=2+\bigl(0{,}4\,\mathrm{Re}^{1/2}+0{,}06\,\mathrm{Re}^{2/3}\bigr)\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}\,\Bigl(\frac{\mu_{\infty}}{\mu_s}\Bigr)^{1/4}.
Explicando: \mathrm{Nu}=\dfrac{h\,D}{k_{\mathrm{ar}}} é o número de Nusselt (relação entre convecção e condução), \mu_\infty é a viscosidade do fluido a temperatura do fluido (aqui ar a 5^\circ\mathrm{C}), e \mu_s é a viscosidade do fluido à temperatura de superfície (aqui próxima de 15^\circ\mathrm{C}). A correção (\mu_\infty/\mu_s)^{1/4} corrige variação de viscosidade com temperatura. Como a diferença entre 5^\circ\mathrm{C} e 15^\circ\mathrm{C} é pequena, podemos aproximar \mu_\infty/\mu_s\approx 1 (faço isso e comento o efeito depois). Assim:
\mathrm{Nu}\approx 2+\bigl(0{,}4\,\mathrm{Re}^{1/2}+0{,}06\,\mathrm{Re}^{2/3}\bigr)\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}.

Passo 8

Cálculo da \mathrm{Nu} pela Whitaker com nossos \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}:
Já temos \mathrm{Re}\approx 1520. Calculos intermediários:
\mathrm{Re}^{1/2}=(1520)^{1/2}\approx 38{,}99,\qquad \mathrm{Re}^{2/3}=\bigl(\mathrm{Re}^{1/3}\bigr)^2\approx 11{,}55^2\approx 133{,}4.
\mathrm{Pr}=0{,}7350\Rightarrow \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx e^{0{,}4\ln(0{,}7350)}\approx 0{,}884 (ou diretamente \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx 0{,}884).
Agora a combinação:
0{,}4\cdot 38{,}99 = 15{,}596,\qquad 0{,}06\cdot 133{,}4 = 8{,}004.
Soma: 15{,}596+8{,}004 = 23{,}600. Multiplico por \mathrm{Pr}^{0{,}4}:
23{,}600\cdot 0{,}884 \approx 20{,}86.
Somando o 2:
\mathrm{Nu}\approx 2 + 20{,}86 = 22{,}86.

Passo 9

Agora converto \mathrm{Nu} em h pela definição \mathrm{Nu}=\dfrac{h\,D}{k_{\mathrm{ar}}}, logo
h_{\text{corr}}=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\mathrm{ar}}}{D}=\frac{22{,}86\cdot 0{,}02401}{0{,}07}.
Faço o produto:
22{,}86\cdot 0{,}02401 \approx 0{,}5486.
Dividindo por 0{,}07:
h_{\text{corr}}\approx \frac{0{,}5486}{0{,}07}\approx 7{,}84\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Observação: a correlação de Ranz–Marshall ( \mathrm{Nu}=2+0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}) daria um valor muito semelhante (chegamos a cerca de 7{,}9\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}), então as correlações matemáticas padrão sugerem h em torno de 7{,}8{-}8{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 10

Cálculo do erro percentual entre o valor obtido por correlação matemática e o valor experimental:
Usamos a definição de erro percentual relativo em valor absoluto:
\text{erro \%}=\left|\frac{h_{\text{corr}}-h_{\text{exp}}}{h_{\text{exp}}}\right|\times 100\%.
Substituindo h_{\text{exp}}\approx 19{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} e h_{\text{corr}}\approx 7{,}84\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}:
\text{erro \%}=\left|\frac{7{,}84-19{,}99}{19{,}99}\right|\times100\%\approx \frac{12{,}15}{19{,}99}\times100\%\approx 60{,}8\%.
Portanto a correlação matemática subestimaria h em cerca de 61\%.

Passo 11

Discussão sobre aceitabilidade do erro (linguagem direta e honesta):
  • Um erro de aproximadamente 61\% é grande. Em engenharia de transferência de calor isso pode representar uma diferença enorme no tempo de resfriamento, energia requerida, dimensionamento de equipamento, etc.
  • Portanto, essa discrepância não é aceitável se você precisa de previsões quantitativas confiáveis (por exemplo, para projetar um túnel de resfriamento ou estimar tempo de resfriamento).
  • Possíveis razões para a diferença: a correlação experimental fornecida foi obtida especificamente para o regime e geometria experimental (possivelmente considerando efeitos superficiais, rugosidade da casca, fluxo local, etc.) e inclui um expoente \mathrm{Re}^{1/3} com constante maior; as correlações padrão (Whitaker, Ranz–Marshall) são genéricas e podem não capturar todos os efeitos práticos do experimento. Conclusão prática: se existir correlação experimental adequada, prefira-a; se só houver correlações genéricas, espere incertezas grandes e considere validação experimental.

Resposta

(a) h\approx 20{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}; \dot{Q}\approx 3{,}08\\ \mathrm{W}\n(b) Erro percentual aproximado \approx 60{,}8\%; não, esse erro não seria aceitável para previsões quantitativas precisas.

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