Um engenheiro projetou um aquecedor de sangue para uso durante processos de transfusão. O sangue flui por um tubo de 2,6 \mathrm{~mm} de diâmetro, envolto por uma capa cilíndrica mantida a 40^{\circ} \mathrm{C}. Esse trocador de calor deve aquecer 200 \mathrm{ml} / \mathrm{min} de sangue, de 10^{\circ} \mathrm{C} até 37^{\circ} \mathrm{C}. Assuma escoamento plenamente desenvolvido e que as propriedades do sangue são iguais às da água. Qual o comprimento do tubo para que o aquecimento seja realizado com exatidão?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do tubo interno necessário para aquecer sangue (assumido com propriedades da água) que flui por um tubo de diâmetro 2,6\\ \mathrm{mm}, envolto por uma capa mantida a 40^\circ\mathrm{C}. O sangue entra a 10^\circ\mathrm{C} e deve sair a 37^\circ\mathrm{C}. A vazão volumétrica é 200\\ \mathrm{ml/min}. Informações dadas (convertidas para unidades SI quando necessário):
\begin{aligned} &D &=&\;2,6\\ \mathrm{mm} &=&\;0{,}0026\\ \mathrm{m},\\\ &T_w &=&\;40^\circ\mathrm{C},\\\ &T_{in} &=&\;10^\circ\mathrm{C},\\\ &T_{out} &=&\;37^\circ\mathrm{C},\\\ &Q_v &=&\;200\\ \mathrm{ml/min} &=&\;200\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/min} &=&\;3{,}333\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}
Resumo do que precisamos encontrar: comprimento L do tubo tal que o aquecimento do fluido obedeça T_{m}(0)=T_{in} e T_{m}(L)=T_{out}, onde T_m é a temperatura média do fluido.

Passo 2

Transformar vazão volumétrica em velocidade média e área da seção. Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0026)^2}{4}.
Calculemos A:
A=\pi\cdot\frac{(2{,}6\times10^{-3})^2}{4}=\pi\cdot\frac{6{,}76\times10^{-6}}{4}=\pi\cdot1{,}69\times10^{-6}\approx5{,}31\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V=\frac{Q_v}{A}=\frac{3{,}333\times10^{-6}}{5{,}31\times10^{-6}}\approx0{,}6277\\ \mathrm{m/s}.
Explicação breve: a área da seção é a área circular; velocidade média é simplesmente vazão volumétrica dividida por área.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento com o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Vamos assumir propriedades da água a temperatura média aproximada \sim23{,}5^\circ\mathrm{C}. Usaremos valores típicos:
\rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu\approx1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Calcule Re:
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot0{,}6277\cdot0{,}0026}{1{,}0\times10^{-3}}\approx1632.
Classificação: como \mathrm{Re}<2300, o escoamento é laminar. Isso é importante porque o coeficiente de transferência de calor convectivo interno depende fortemente do regime (laminar vs turbulento).

Passo 4

Valor da Nusselt number para escoamento laminar, plenamente desenvolvido, condição de parede com temperatura constante: para cano circular internamente completamente desenvolvido termicamente e hidrodinamicamente, o número de Nusselt é constante e vale
\mathrm{Nu}=3{,}66.
Explicação: \mathrm{Nu} é a razão entre convecção e condução térmica e, quando o perfil térmico está totalmente desenvolvido e a temperatura da parede é constante, a solução analítica para o problema dá \mathrm{Nu}=3{,}66 (um resultado padrão em transferência de calor).

Passo 5

Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção h usando
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Assumimos condutividade térmica da água k\approx0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Então
h=\frac{3{,}66\cdot0{,}6}{0{,}0026}\approx845{,}2\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: h diz quanto de calor por unidade de área e por grau de diferença entre parede e fluido é transferido.

Passo 6

Calcular vazão mássica e capacidade calorífica:
\dot m=\rho Q_v=1000\cdot3{,}333\times10^{-6}=0{,}003333\\ \mathrm{kg/s}.
Capacidade térmica do fluido por unidade de massa (água):
c_p\approx4182\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Assim
\dot m c_p=0{,}003333\cdot4182\approx13{,}94\\ \mathrm{W/K}.
Comentário: \dot m c_p é a capacidade térmica mássica do fluxo (quanto de potência térmica é necessária para elevar 1 K).

Passo 7

Derivar a equação de energia e solução para T_m(x).
Considere um elemento de tubo de comprimento dx. Balanço de energia por unidade de tempo (regime permanente, sem geração interna):
\dot m c_p \, dT_m = h P (T_w - T_m)\, dx,
onde P é o perímetro molhado do tubo. Para tubo circular,
P=\pi D.
Reescrevendo:
\frac{dT_m}{dx}=\frac{hP}{\dot m c_p}\,(T_w-T_m).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Sua solução (com condição T_m(0)=T_{in}) é
T_w-T_m(x)=(T_w-T_{in})\exp\!\Big(-\frac{hP}{\dot m c_p}x\Big).
Queremos x=L tal que T_m(L)=T_{out}. Então
\exp\!\Big(-\frac{hP}{\dot m c_p}L\Big)=\frac{T_w-T_{out}}{T_w-T_{in}}.
Isolando L:
L=-\frac{\dot m c_p}{hP}\ln\!\Big(\frac{T_w-T_{out}}{T_w-T_{in}}\Big).
Explicação didática: a equação mostra que a diferença entre temperatura da parede e a temperatura média do fluido decai exponencialmente ao longo do tubo com uma constante de decaimento \frac{hP}{\dot m c_p}.

Passo 8

Agora inserir números e calcular L.
Perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot0{,}0026\approx0{,}008168\\ \mathrm{m}.
Produto hP:
hP=845{,}2\cdot0{,}008168\approx6{,}905\\ \mathrm{W/K\cdot m^{-1}}.
Quociente:
\frac{hP}{\dot m c_p}=\frac{6{,}905}{13{,}94}\approx0{,}4954\\ \mathrm{m^{-1}}.
Razão de temperaturas (usar as temperaturas fornecidas):
\frac{T_w-T_{out}}{T_w-T_{in}}=\frac{40-37}{40-10}=\frac{3}{30}=0{,}1.
Portanto
L=-\frac{1}{0{,}4954}\ln(0{,}1)=\frac{1}{0{,}4954}\cdot2{,}302585\approx4{,}65\\ \mathrm{m}.
Cálculo detalhado dos fatores: -\ln(0{,}1)=2{,}302585; invertendo 0{,}4954 obtém-se \approx2{,}0186 e multiplicando dá 4{,}65\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Comentários finais e verificação rápida de consistência: comprimento L\approx4{,}65\\ \mathrm{m} parece razoável para uma pequena vazão e um pequeno coeficiente de troca por área (tubo fino). Observações sobre suposições:
  • Assumimos escoamento laminar e que o perfil térmico está plenamente desenvolvido (assim usamos \mathrm{Nu}=3{,}66). Se o escoamento não fosse termicamente desenvolvido ao longo de todo o comprimento, o resultado real poderia ser menor (entrada térmica aumenta localmente h), reduzindo um pouco L.
  • Usamos propriedades médias da água; pequenas variações de \mu, k, c_p mudariam o resultado ligeiramente.
  • Para projeto prático convém incluir margem de segurança e considerar efeitos como sedimentos/biomassa que alterem a troca térmica.

Resposta

L\approx4{,}65\\ \mathrm{m}

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