Um engenheiro projetou um aquecedor de sangue para uso durante processos de transfusão. O sangue flui por um tubo de
de diâmetro, envolto por uma capa cilíndrica mantida a
. Esse trocador de calor deve aquecer
de sangue, de
até
. Assuma escoamento plenamente desenvolvido e que as propriedades do sangue são iguais às da água. Qual o comprimento do tubo para que o aquecimento seja realizado com exatidão?
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do tubo interno necessário para aquecer sangue (assumido com propriedades da água) que flui por um tubo de diâmetro
, envolto por uma capa mantida a
. O sangue entra a
e deve sair a
. A vazão volumétrica é
. Informações dadas (convertidas para unidades SI quando necessário):
Resumo do que precisamos encontrar: comprimento
do tubo tal que o aquecimento do fluido obedeça
e
, onde
é a temperatura média do fluido.
Passo 2
Transformar vazão volumétrica em velocidade média e área da seção. Área da seção:
Calculemos
:
Velocidade média:
Explicação breve: a área da seção é a área circular; velocidade média é simplesmente vazão volumétrica dividida por área.
Passo 3
Determinar o regime de escoamento com o número de Reynolds:
Vamos assumir propriedades da água a temperatura média aproximada
. Usaremos valores típicos:
Calcule Re:
Classificação: como
, o escoamento é laminar. Isso é importante porque o coeficiente de transferência de calor convectivo interno depende fortemente do regime (laminar vs turbulento).
Passo 4
Valor da Nusselt number para escoamento laminar, plenamente desenvolvido, condição de parede com temperatura constante: para cano circular internamente completamente desenvolvido termicamente e hidrodinamicamente, o número de Nusselt é constante e vale
Explicação:
é a razão entre convecção e condução térmica e, quando o perfil térmico está totalmente desenvolvido e a temperatura da parede é constante, a solução analítica para o problema dá
(um resultado padrão em transferência de calor).
Passo 5
Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção
usando
Assumimos condutividade térmica da água
. Então
Interpretação:
diz quanto de calor por unidade de área e por grau de diferença entre parede e fluido é transferido.
Passo 6
Calcular vazão mássica e capacidade calorífica:
Capacidade térmica do fluido por unidade de massa (água):
Assim
Comentário:
é a capacidade térmica mássica do fluxo (quanto de potência térmica é necessária para elevar 1 K).
Passo 7
Derivar a equação de energia e solução para
.
Considere um elemento de tubo de comprimento
. Balanço de energia por unidade de tempo (regime permanente, sem geração interna):
onde
é o perímetro molhado do tubo. Para tubo circular,
Reescrevendo:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Sua solução (com condição
) é
Queremos
tal que
. Então
Isolando
:
Explicação didática: a equação mostra que a diferença entre temperatura da parede e a temperatura média do fluido decai exponencialmente ao longo do tubo com uma constante de decaimento
.
Passo 8
Agora inserir números e calcular
.
Perímetro:
Produto
:
Quociente:
Razão de temperaturas (usar as temperaturas fornecidas):
Portanto
Cálculo detalhado dos fatores:
; invertendo
obtém-se
e multiplicando dá
.
Passo 9
Comentários finais e verificação rápida de consistência: comprimento
parece razoável para uma pequena vazão e um pequeno coeficiente de troca por área (tubo fino). Observações sobre suposições:
- Assumimos escoamento laminar e que o perfil térmico está plenamente desenvolvido (assim usamos
). Se o escoamento não fosse termicamente desenvolvido ao longo de todo o comprimento, o resultado real poderia ser menor (entrada térmica aumenta localmente ), reduzindo um pouco . - Usamos propriedades médias da água; pequenas variações de
, , mudariam o resultado ligeiramente. - Para projeto prático convém incluir margem de segurança e considerar efeitos como sedimentos/biomassa que alterem a troca térmica.