Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do PVI.
(b) Descreva, aproximadamente, onde a solução é válida.
Dica letra b): Resolva como uma equação de
grau na variável
.
(b) Descreva, aproximadamente, onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Perguntas:
(a) Encontrar a solução do PVI (ou seja, a função que satisfaz a EDO e a condição inicial).
(b) Descrever, aproximadamente, onde essa solução é válida (intervalo de em que a solução existe/está bem definida).
(a) Encontrar a solução do PVI (ou seja, a função
(b) Descrever, aproximadamente, onde essa solução é válida (intervalo de
Informações relevantes dadas:
e a condição inicial
.
Passo 2
Vamos transformar a EDO para a forma padrão de equação diferencial implícita do tipo
Aqui já está nessa forma com
e
acima. Uma ideia muito útil (que vou explicar) é testar se a equação é exata: uma equação é exata se existe uma função
tal que
Se for exata, a solução geral vem de
. Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Explico rápido o porquê: quando as parciais coincidem localmente existe uma potencial
cuja diferencial total
coincide com
.
Passo 3
Agora constrói-se
integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Para determinar
derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim obtemos
. Integrando em
,
Podemos juntar constantes e escrever a função potencial (ignorando a constante arbitrária global
que ficará do lado direito):
Passo 4
A solução implícita geral é então
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Logo a solução implícita do PVI é
Passo 5
Para obter
explicitamente resolvemos essa equação como uma equação quadrática em
. Reescrevendo em forma padrão:
Aqui interpretamos isto como uma equação quadrática
com
,
,
. Lembrete da fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
,
Aplicando aos nossos coeficientes:
Portanto
Passo 6
Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal correto: em
temos
As duas raízes em
são
e
. Como a condição inicial exige
, escolhemos o sinal
. Assim a solução que passa por
é
Passo 7
Agora precisamos descrever onde essa expressão está bem definida. Há duas restrições a considerar:
- O radical exige
. Isso dá
- Na forma original da EDO, se tivéssemos dividido por
para escrever , precisamos evitar pontos onde (denominador zero). Observação: os pontos onde o radical se anula, isto é onde , correspondem exatamente à interseção da curva implícita com a reta . Nessas abscissas extremas a derivada fica mal comportada (denominador zero), então não podemos estender a solução por fora desses pontos.
Portanto a solução explícita com o ramo que passa por
está bem definida enquanto
, isto é no intervalo aberto
Numericamente
. Este é o intervalo máximo de
contendo
onde a expressão com o sinal
fornece uma solução suave e única do PVI. Nos pontos extremos
o radical zera e
, então a EDO original apresenta divisão por zero ali e a solução não pode ser estendida de forma regular além desses pontos.
Resposta
(a)
(b) A solução é válida para
(aproximadamente
).