Considere o problema de valor inicial
(2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0, \quad y(1)=3
(a) Encontre a solução do PVI.
(b) Descreva, aproximadamente, onde a solução é válida.
Dica letra b): Resolva como uma equação de 2^{o} grau na variável y.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(2x-y)+(2y-x)\,y'=0,\qquad y(1)=3.
Perguntas:
(a) Encontrar a solução do PVI (ou seja, a função y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial).
(b) Descrever, aproximadamente, onde essa solução é válida (intervalo de x em que a solução existe/está bem definida).
Informações relevantes dadas:
M(x,y)=2x-y,\qquad N(x,y)=2y-x,
e a condição inicial \;y(1)=3.

Passo 2

Vamos transformar a EDO para a forma padrão de equação diferencial implícita do tipo
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
Aqui já está nessa forma com M e N acima. Uma ideia muito útil (que vou explicar) é testar se a equação é exata: uma equação é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y).
Se for exata, a solução geral vem de \Phi(x,y)=C. Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-x)=-1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata. Explico rápido o porquê: quando as parciais coincidem localmente existe uma potencial \Phi cuja diferencial total d\Phi = \Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy coincide com M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Agora constrói-se \Phi integrando M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (2x-y)\,dx = x^2 - x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Para determinar h derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y)=2y-x.
Assim obtemos h'(y)=2y. Integrando em y,
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_1.
Podemos juntar constantes e escrever a função potencial (ignorando a constante arbitrária global C_1 que ficará do lado direito):
\Phi(x,y)=x^2 - x y + y^2.

Passo 4

A solução implícita geral é então
\Phi(x,y)=x^2 - x y + y^2 = C.
Aplicamos a condição inicial \;y(1)=3 para encontrar C:
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7.
Logo a solução implícita do PVI é
x^2 - x y + y^2 = 7.

Passo 5

Para obter y explicitamente resolvemos essa equação como uma equação quadrática em y. Reescrevendo em forma padrão:
y^2 - x y + (x^2-7)=0.
Aqui interpretamos isto como uma equação quadrática \;a y^2 + b y + c = 0 com a=1, b=-x, c=x^2-7. Lembrete da fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para a y^2 + b y + c=0,
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aplicando aos nossos coeficientes:
\Delta = b^2-4ac = (-x)^2 - 4\cdot 1\cdot (x^2-7) = x^2 -4x^2 +28 = 28 - 3x^2.
Portanto
y(x)=\frac{x\pm\sqrt{28-3x^2}}{2}.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal correto: em x=1 temos
y(1)=\frac{1\pm\sqrt{28-3}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}.
As duas raízes em x=1 são y=3 e y=-2. Como a condição inicial exige y(1)=3, escolhemos o sinal +. Assim a solução que passa por (1,3) é
y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}.

Passo 7

Agora precisamos descrever onde essa expressão está bem definida. Há duas restrições a considerar:
  1. O radical exige \;28-3x^2\ge 0. Isso dá
3x^2\le 28 \quad\Rightarrow\quad x^2\le \frac{28}{3}\quad\Rightarrow\quad |x|\le \sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}.
  1. Na forma original da EDO, se tivéssemos dividido por N(x,y)=2y-x para escrever y'=-\dfrac{2x-y}{2y-x}, precisamos evitar pontos onde 2y-x=0 (denominador zero). Observação: os pontos onde o radical se anula, isto é onde 28-3x^2=0, correspondem exatamente à interseção da curva implícita com a reta 2y-x=0. Nessas abscissas extremas a derivada fica mal comportada (denominador zero), então não podemos estender a solução por fora desses pontos.
Portanto a solução explícita com o ramo que passa por (1,3) está bem definida enquanto 28-3x^2>0, isto é no intervalo aberto
-\frac{2\sqrt{21}}{3}<x<\frac{2\sqrt{21}}{3}.
Numericamente \frac{2\sqrt{21}}{3}\approx 3{,}055. Este é o intervalo máximo de x contendo x=1 onde a expressão com o sinal + fornece uma solução suave e única do PVI. Nos pontos extremos \;x=\pm\frac{2\sqrt{21}}{3} o radical zera e 2y-x=0, então a EDO original apresenta divisão por zero ali e a solução não pode ser estendida de forma regular além desses pontos.

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}. (b) A solução é válida para \displaystyle -\frac{2\sqrt{21}}{3}<x<\frac{2\sqrt{21}}{3} (aproximadamente -3{,}055<x<3{,}055).

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