Ache os valores de \alpha para os quais a equação
y^{\prime \prime}-\alpha(\alpha-1) y^{\prime}+\frac{1}{4}\left[\alpha(\alpha-1)^{2}+1\right] y=0
admite apenas soluções limitadas.

Passo 1

O enunciado pede: achar todos os valores de \alpha para os quais a equação
y^{\prime \prime}-\alpha(\alpha-1) y^{\prime}+\frac{1}{4}\left[\alpha(\alpha-1)^{2}+1\right] y=0
admite apenas soluções limitadas (isto é, todas as soluções da equação devem ser limitadas no eixo real).
Informações dadas que vamos usar:
  • Coeficientes são constantes (dependem de \alpha mas não de t).
  • A equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem solução geral determinada pelas raízes da equação característica associada.

Passo 2

Vamos escrever a equação característica associada. Se procuramos soluções da forma y(t)=e^{r t}, substituindo na EDO obtemos a equação polinomial para r:
r^{2}-\alpha(\alpha-1)\,r+\frac{1}{4}\left[\alpha(\alpha-1)^{2}+1\right]=0.
Para simplificar a notação, defina
a=\alpha(\alpha-1),\qquad b=\frac{1}{4}\bigl[\alpha(\alpha-1)^{2}+1\bigr],
então a equação característica fica
r^{2}-a r+b=0.

Passo 3

Explico como a natureza das raízes r determina o comportamento das soluções (aula curtinha):
  • Se as raízes r_1,r_2 são reais e distintas, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}. Para que todas as soluções sejam limitadas em todo \mathbb{R} seria necessário que e^{r_1 t} e e^{r_2 t} sejam limitadas em \mathbb{R}, o que exige \Re(r_1)=\Re(r_2)=0. Mas raízes reais com parte real zero só podem ser r=0, e uma raiz zero dupla geraria termo em t (não limitado).
  • Se há uma raiz real dupla r, a solução contém termo t e^{r t} — se r=0 esse termo dá crescimento não limitado; se \Re(r)\neq0 também há crescimento em uma das direções do eixo real.
  • Se as raízes são complexas conjugadas r=\mu\pm i\nu ( \nu\neq0), a solução é combinação de e^{\mu t}\cos(\nu t) e e^{\mu t}\sin(\nu t). Para todas as soluções serem limitadas em todo \mathbb{R} precisa-se de \mu=0 (ou seja, partes reais nulas), caso contrário há crescimento para t\to\pm\infty.
Conclusão didática: para que todas as soluções sejam limitadas em \mathbb{R} é necessário e suficiente que as raízes tenham parte real zero e não haja multiplicidade que introduza fatores polinomiais (isto é, as raízes devem ser puramente imaginárias simples: r=\pm i\omega com \omega\neq0). Em particular, para coeficientes reais, isso implica que a soma das raízes é zero.

Passo 4

A soma das raízes da equação característica vale
r_1+r_2=a=\alpha(\alpha-1).
Se as raízes são conjugadas r=\mu\pm i\nu, então r_1+r_2=2\mu. Para que \mu=0 (partes reais nulas) precisamos de
\alpha(\alpha-1)=0.
Então as únicas candidatas são as soluções dessa equação para \alpha.

Passo 5

Resolver \alpha(\alpha-1)=0
\alpha=0\quad\text{ou}\quad \alpha=1.

Passo 6

Agora verificar que, para \alpha=0 e \alpha=1, as raízes são realmente puramente imaginárias simples (não repetidas).
Calcule b para esses \alpha.
Para \alpha=0:
b=\frac{1}{4}\bigl[0\cdot(0-1)^{2}+1\bigr]=\frac{1}{4}.
A equação característica fica
r^{2}+\frac{1}{4}=0,
cuja solução é
r=\pm i\frac{1}{2}.
Raízes puramente imaginárias, distintas.
Para \alpha=1:
b=\frac{1}{4}\bigl[1\cdot(1-1)^{2}+1\bigr]=\frac{1}{4}.
A equação característica também fica
r^{2}+\frac{1}{4}=0,
com
r=\pm i\frac{1}{2}.
Novamente raízes puramente imaginárias, distintas.
Em ambos os casos as raízes são \pm i/2, que geram soluções oscilatórias limitadas y=C_1\cos\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

Passo 7

Verificação final: não existem outros valores de \alpha que tornem todas as soluções limitadas. Explicando por que:
  • Para qualquer \alpha diferente de 0 e 1 tem-se \alpha(\alpha-1)\neq0, logo a soma das raízes a\neq0, o que implica que as raízes têm parte real \mu=a/2\neq0 e portanto pelo menos uma solução cresce exponencialmente para t\to+\infty ou t\to-\infty; assim nem todas as soluções são limitadas.
  • O caso de raiz dupla com parte real zero exigiria a=0 e b=0 simultaneamente; mas para a=0 já calculamos b=\tfrac{1}{4}\neq0, logo não há raiz dupla zero.
Portanto os únicos \alpha que funcionam são os encontrados.

Resposta

\alpha=0
\alpha=1

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