Ache os valores de
para os quais a equação
admite apenas soluções limitadas.
Passo 1
O enunciado pede: achar todos os valores de
para os quais a equação
admite apenas soluções limitadas (isto é, todas as soluções da equação devem ser limitadas no eixo real).
Informações dadas que vamos usar:
- Coeficientes são constantes (dependem de
mas não de ). - A equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem solução geral determinada pelas raízes da equação característica associada.
Passo 2
Vamos escrever a equação característica associada. Se procuramos soluções da forma
, substituindo na EDO obtemos a equação polinomial para
:
Para simplificar a notação, defina
então a equação característica fica
Passo 3
Explico como a natureza das raízes
determina o comportamento das soluções (aula curtinha):
- Se as raízes
são reais e distintas, a solução geral é . Para que todas as soluções sejam limitadas em todo seria necessário que e sejam limitadas em , o que exige . Mas raízes reais com parte real zero só podem ser , e uma raiz zero dupla geraria termo em (não limitado). - Se há uma raiz real dupla
, a solução contém termo — se esse termo dá crescimento não limitado; se também há crescimento em uma das direções do eixo real. - Se as raízes são complexas conjugadas
( ), a solução é combinação de e . Para todas as soluções serem limitadas em todo precisa-se de (ou seja, partes reais nulas), caso contrário há crescimento para .
Conclusão didática: para que todas as soluções sejam limitadas em
é necessário e suficiente que as raízes tenham parte real zero e não haja multiplicidade que introduza fatores polinomiais (isto é, as raízes devem ser puramente imaginárias simples:
com
). Em particular, para coeficientes reais, isso implica que a soma das raízes é zero.
Passo 4
A soma das raízes da equação característica vale
Se as raízes são conjugadas
, então
. Para que
(partes reais nulas) precisamos de
Então as únicas candidatas são as soluções dessa equação para
.
Passo 5
Resolver
dá
Passo 6
Agora verificar que, para
e
, as raízes são realmente puramente imaginárias simples (não repetidas).
Calcule
para esses
.
Para
:
A equação característica fica
cuja solução é
Raízes puramente imaginárias, distintas.
Para
:
A equação característica também fica
com
Novamente raízes puramente imaginárias, distintas.
Em ambos os casos as raízes são
, que geram soluções oscilatórias limitadas
.
Passo 7
Verificação final: não existem outros valores de
que tornem todas as soluções limitadas. Explicando por que:
- Para qualquer
diferente de e tem-se , logo a soma das raízes , o que implica que as raízes têm parte real e portanto pelo menos uma solução cresce exponencialmente para ou ; assim nem todas as soluções são limitadas. - O caso de raiz dupla com parte real zero exigiria
e simultaneamente; mas para já calculamos , logo não há raiz dupla zero.
Portanto os únicos
que funcionam são os encontrados.