Numa residência em Minas Gerais, com fornecimento de energia na tensão de 127 V (valor eficaz), existem os seguintes equipamentos de utilização de energia elétrica:
i. Refrigerador, potência nominal: 310 W , fator de potência: 0,8 indutivo.
ii. Máquina de lavar roupas, potência nominal: 355 W , fator de potência: 0,85 indutivo.
iii. Chuveiro elétrico, potência nominal: 5500 W ;
iv. Ferro elétrico, potência nominal: 1200 W ;
v. Lâmpada LED (10 unidades), potência nominal: 11 W , corrente nominal: 125 mA (capacitiva);
vi. Televisor 40^{\prime \prime} LED, potência nominal: 110 W , corrente nominal: 1,08 \mathrm{~A} (capacitiva);
A tubulação da entrada de energia elétrica até o quadro de distribuição da residência tem comprimento de 25 metros e os condutores são de 16 \mathrm{~mm}^{2} (resistência e reatância indutiva de 1,38 e 0,13 ohms / \mathrm{km}, respectivamente). Calcule a queda de tensão total (em volts e em percentual da tensão nominal) nos condutores (fase e neutro) na situação de funcionamento simultâneo de todos os equipamentos.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a queda de tensão total nos condutores (fase + neutro) quando todos os equipamentos funcionam simultaneamente.
  • Entregar esse valor em volts e em percentual da tensão nominal.
Informações fornecidas (peguei todos esses números do enunciado):
  • Tensão nominal eficaz: V=127\\ \mathrm{V}.
  • Equipamentos:
    1. Refrigerador: potência ativa P_1=310\\ \mathrm{W}, fator de potência \mathrm{pf}_1=0,8 (indutivo).
    2. Máquina de lavar: P_2=355\\ \mathrm{W}, \mathrm{pf}_2=0,85 (indutivo).
    3. Chuveiro: P_3=5500\\ \mathrm{W} (assume-se resistência, \mathrm{pf}_3=1).
    4. Ferro: P_4=1200\\ \mathrm{W} (assume-se resistência, \mathrm{pf}_4=1).
    5. Lâmpadas LED (10 unidades): potência por lâmpada 11\\ \mathrm{W}, corrente nominal por lâmpada 0,125\\ \mathrm{A} (capacitiva).
    6. Televisor 40'' LED: potência P_6=110\\ \mathrm{W}, corrente I_6=1,08\\ \mathrm{A} (capacitiva).
  • Tubulação (um sentido): comprimento L_{\text{ida}}=25\\ \mathrm{m}. Como existe ida e volta (fase + neutro), o comprimento total do laço é 2\times25\\ \mathrm{m}=50\\ \mathrm{m}.
  • Condutores: seção 16\\ \mathrm{mm}^2, resistência e reatância por km: R' = 1,38\\ \Omega/\mathrm{km}, X' = 0,13\\ \Omega/\mathrm{km}.
Observações importantes (interpretações necessárias):
  • As lâmpadas e a TV têm corrente indicada; isso permite obter seu fator de potência real a partir de P e V.
  • Para queda de tensão em circuito monofásico soma-se a impedância do laço (fase + neutro), ou seja usa-se o comprimento total de 50\\ \mathrm{m}=0{,}05\\ \mathrm{km}.
  • Vou somar as potências ativas para obter P_{\text{tot}} e somar as reativas (com sinal: indutiva positiva, capacitiva negativa) para obter Q_{\text{tot}}. Em seguida obtenho a corrente complexa total e, com a impedância do laço, calculo a queda de tensão complexa \Delta V e sua magnitude.

Passo 2

Converter dados da tubulação em impedância do laço:
  • Comprimento do laço: L_{\text{laço}}=50\\ \mathrm{m}=0{,}05\\ \mathrm{km}ç.
  • Resistência do laço:
R = R'\cdot L_{\text{laço}} = 1{,}38\\ \Omega/\mathrm{km}\times 0{,}05\\ \mathrm{km} = 0{,}069\\ \Omega.ç
  • Reatância indutiva do laço:
X = X'\cdot L_{\text{laço}} = 0{,}13\\ \Omega/\mathrm{km}\times 0{,}05\\ \mathrm{km} = 0{,}0065\\ \Omega.ç
  • Impedância do laço (complexa):
Z = R + jX = 0{,}069 + j\,0{,}0065\\ \Omega.
Explicação rápida (didática): o laço considera ida e volta; por isso multiplicamos por 2 o comprimento de um único condutor. A impedância é a responsável por transformar a corrente em queda de tensão via \Delta V = I\cdot Z (fazendo a multiplicação complexa quando há componente reativa).

Passo 3

Calcular a potência aparente, reativa e corrente de cada carga (vou explicar as fórmulas usadas):
Conceitos usados:
  • Potência aparente: S = P + jQ.
  • Relação entre potência reativa e fator de potência: se \mathrm{pf}=\cos\varphi, então \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{pf}^2}-1} e Q = P\tan\varphi (positivo para indutivo, negativo para capacitivo).
  • Corrente (apparent) de uma carga monofásica: I = \dfrac{|S|}{V}. Ao trabalhar com somas, uso a relação de potência complexa total para achar a corrente complexa total (ver passo 4).
Agora os cálculos por equipamento:
  1. Refrigerador ( P_1=310\\ \mathrm{W}, \mathrm{pf}_1=0{,}8 indutivo).
  • \varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}8).
  • \tan\varphi_1=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}8^2}-1}=0{,}75.
  • Q_1 = P_1\tan\varphi_1 = 310\times 0{,}75 = 232{,}5\\ \mathrm{var} (indutivo).
  • S_1 = 310 + j\,232{,}5\\ \mathrm{VA}.
  1. Máquina de lavar ( P_2=355\\ \mathrm{W}, \mathrm{pf}_2=0{,}85 indutivo).
  • \tan\varphi_2=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}85^2}-1}\approx 0{,}6197.
  • Q_2 = 355\times 0{,}6197 \approx 219{,}95\\ \mathrm{var} (indutivo).
  • S_2 \approx 355 + j\,219{,}95\\ \mathrm{VA}.
  1. Chuveiro ( P_3=5500\\ \mathrm{W}, \mathrm{pf}_3=1, carga puramente resistiva).
  • Q_3 = 0.
  • S_3 = 5500 + j\,0\\ \mathrm{VA}.
  1. Ferro ( P_4=1200\\ \mathrm{W}, \mathrm{pf}_4=1).
  • Q_4 = 0.
  • S_4 = 1200 + j\,0\\ \mathrm{VA}.
  1. Lâmpadas LED (10 unidades):
  • Potência ativa total: P_5 = 10\times 11 = 110\\ \mathrm{W}.
  • Corrente total fornecida no enunciado: I_5 = 10\times 0{,}125 = 1{,}25\\ \mathrm{A} (capacitiva).
  • Potência aparente total: S_5 = V\cdot I_5 = 127\times 1{,}25 = 158{,}75\\ \mathrm{VA}.
  • Fator de potência: \mathrm{pf}_5 = \dfrac{P_5}{S_5} = \dfrac{110}{158{,}75}\approx 0{,}693.
  • \sin\varphi_5 = \sqrt{1-\mathrm{pf}_5^2}\approx 0{,}72098. (capacitivo → Q_5 negativo)
  • Q_5 = -S_5\sin\varphi_5 \approx -158{,}75\times 0{,}72098 \approx -114{,}45\\ \mathrm{var}.
  • S_5 \approx 110 - j\,114{,}45\\ \mathrm{VA}.
Comentário: note que usei a corrente fornecida para estas lâmpadas (como pediu o enunciado). Isso é mais confiável que usar só a potência nominal quando uma corrente nominal é dada.
  1. Televisor ( P_6=110\\ \mathrm{W}, I_6=1{,}08\\ \mathrm{A}, capacitiva).
  • S_6 = V\cdot I_6 = 127\times 1{,}08 = 137{,}16\\ \mathrm{VA}.
  • \mathrm{pf}_6 = \dfrac{110}{137{,}16}\approx 0{,}802.
  • \sin\varphi_6 = \sqrt{1-\mathrm{pf}_6^2}\approx 0{,}5973. (capacitivo)
  • Q_6 = -S_6\sin\varphi_6 \approx -137{,}16\times 0{,}5973 \approx -81{,}94\\ \mathrm{var}.
  • S_6 \approx 110 - j\,81{,}94\\ \mathrm{VA}.
Resumo das potências (arredondadas com boa precisão):
  • P_{\text{tot}} = P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6 = 310+355+5500+1200+110+110 = 7\,585\\ \mathrm{W}.
  • Q_{\text{tot}} = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5+Q_6 \approx 232{,}5 + 219{,}95 + 0 + 0 -114{,}45 -81{,}94 \approx 256{,}06\\ \mathrm{var}.
Portanto a potência aparente total é
S_{\text{tot}} = P_{\text{tot}} + j\,Q_{\text{tot}} \approx 7\,585 + j\,256{,}06\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Calcular a corrente complexa total a partir de S_{\text{tot}}.
Relação entre S, V e I (monofásico, com V referência em ângulo zero):
S = V I^* \quad\Rightarrow\quad I = \frac{S^*}{V}.
Usando S_{\text{tot}} = P_{\text{tot}} + jQ_{\text{tot}}, temos
I = \frac{P_{\text{tot}} - jQ_{\text{tot}}}{V}.
Substituindo os valores:
I = \frac{7\,585 - j\,256{,}06}{127}.
Separando parte real e imaginária:
I_{\text{re}} = \frac{7\,585}{127} \approx 59{,}7646\\ \mathrm{A}, \qquad I_{\text{im}} = -\frac{256{,}06}{127} \approx -2{,}0167\\ \mathrm{A}.
Logo o fasor da corrente é
I \approx 59{,}7646 - j\,2{,}0167\\ \mathrm{A}.
Magnitude da corrente:
|I| = \sqrt{59{,}7646^2 + (-2{,}0167)^2} \approx 59{,}816\\ \mathrm{A}.
Ângulo (corrente defasada em relação à tensão; negativo = corrente defasada (lag) por componente indutiva líquida):
\varphi_I = \arctan\!\left(\frac{-2{,}0167}{59{,}7646}\right) \approx -1{,}935^\circ.
Didática: aqui transformamos a soma de potências em uma única corrente complexa. A parte real da corrente corresponde à componente em fase (associada a potência ativa) e a parte imaginária à componente quadratura (associada a potência reativa). A pequena componente imaginária negativa reflete que, apesar de várias cargas capacitivas, o balanço final é ligeiramente indutivo.

Passo 5

Calcular a queda de tensão complexa no laço:
\Delta V = I\cdot Z.
Usando I = 59{,}7646 - j\,2{,}0167\\ \mathrm{A} e Z = 0{,}069 + j\,0{,}0065\\ \Omega, fazemos a multiplicação complexa:
Produto:
\Delta V = (59{,}7646 - j\,2{,}0167)\times(0{,}069 + j\,0{,}0065).
Calculo detalhado (mostrando termos):
  • Parte real: 59{,}7646\times 0{,}069 - (-2{,}0167)\times 0{,}0065 \approx 4{,}123757 + 0{,}0131086 \approx 4{,}1368656\\ \mathrm{V}.
  • Parte imaginária: 59{,}7646\times 0{,}0065 + (-2{,}0167)\times 0{,}069 \approx 0{,}388470 + (-0{,}1391523) \approx 0{,}2493177\\ \mathrm{V}.
Portanto
\Delta V \approx 4{,}1369 + j\,0{,}2493\\ \mathrm{V}.
Magnitude da queda de tensão:
|\Delta V| = \sqrt{4{,}1369^2 + 0{,}2493^2} \approx 4{,}145\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular a queda de tensão percentual em relação à tensão nominal:
\%\Delta V = \frac{|\Delta V|}{V}\times 100\% = \frac{4{,}145}{127}\times 100\% \approx 3{,}26\%.
Interpretação rápida (motivacional): a queda é relativamente pequena comparada aos 127\\ \mathrm{V} — cerca de 3{,}3\% — apesar do chuveiro pesado, porque a bitola é razoável e o trecho é curto. Mas atenção: corrente total de ~ 60\\ \mathrm{A} é alta; em projeto real teria que checar capacidade do condutor e proteções.

Resposta

4{,}15\\ \mathrm{V}
3{,}26\\ \%

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