A resistência ao desgaste de uma engrenagem de aço deve ser melhorada pelo endurecimento de sua superfície. Contudo, nesse caso, o teor inicial de carbono no aço é de 0,15 \% p, e um teor de carbono de 0,75 \% p deve ser estabelecido em uma posição a 0,65 \mathrm{~mm} abaixo da superfície. Além disso, a concentração na superfície deve ser mantida constante. Especifique um tratamento térmico apropriado em termos da concentração de carbono na superfície e do tempo para uma temperatura entre 1000^{\circ} \mathrm{C} e 1200^{\circ} \mathrm{C}.
  • Obs.1: utilize como valores para a concentração na superfície ( 1,0 \% \mathrm{pC}, 1, \mathrm{X} \% \mathrm{pC} e 2,0 \% \mathrm{pC}; X representa último número de sua matrícula).
    \star Obs.2: utilize como valores para temperatura \left(1000^{\circ} \mathrm{C}, 11 \mathrm{XX}^{\circ} \mathrm{C}\right. e 1200^{\circ} \mathrm{C}; XX representa os dois últimos números de sua matrícula).

Passo 1

O enunciado pede um tratamento de cementação (carburização) de superfície de uma engrenagem de aço, no qual partimos de um teor inicial de carbono C_{0}=0{,}15\% pC e queremos alcançar C_{x}=0{,}75\% pC a uma profundidade x=0{,}65\\ \mathrm{mm}. A concentração de carbono na superfície C_{s} deve ser mantida constante, e a temperatura de processo deve ficar entre 1000\,^{\circ}\mathrm{C} e 1200\,^{\circ}\mathrm{C}. Vamos usar a solução da equação da difusão em um sólido semi-infinito, caso I (concentração superficial constante).

Passo 2

Na difusão estacionária de carbono em um semi-infinito com C_{s} constante vale
\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}} = \operatorname{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr)
onde D é o coeficiente de difusão do carbono na austenita e t o tempo de tratamento.

Passo 3

Isolando t, obtemos
\frac{x}{2\sqrt{D\,t}} = \operatorname{erf}^{-1}\!\Bigl(\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{x^{2}}{4\,D\,\bigl[\operatorname{erf}^{-1}\!\bigl((C_{x}-C_{0})/(C_{s}-C_{0})\bigr)\bigr]^{2}}.

Passo 4

O coeficiente de difusão D depende da temperatura T (em kelvin) segundo uma Lei de Arrhenius:
D(T) = D_{0}\,\exp\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr),
com D_{0} e Q conhecidos para o carbono na austenita e R a constante dos gases. Assim, para cada temperatura escolhida entre 1000\,^{\circ}\mathrm{C} e 1200\,^{\circ}\mathrm{C} (isto é, 1273 a 1473\\ \mathrm{K}) calcula-se D e então o tempo t.

Passo 5

Escolhendo os valores indicados pelo enunciado — concentração de superfície C_{s}=1,X\% pC e temperatura T=11XX\,^{\circ}\mathrm{C} — o tempo de cementação fica dado por
t = \frac{(0{,}65\times10^{-3}\,\mathrm{m})^{2}} {4\,D(11XX\,^\circ\mathrm{C})\, \bigl[\erf^{-1}\bigl((0{,}75-0{,}15)/(1,X-0{,}15)\bigr)\bigr]^{2}}.

Resposta

Concentração de carbono na superfície: C_{s}=1,X\% pC (mantida constante)
Temperatura de processo: T=11XX\,^{\circ}\mathrm{C}
Tempo de cementação:
t = \frac{(0{,}65\times10^{-3})^{2}} {4\,D(11XX\,^\circ\mathrm{C})\, \bigl[\erf^{-1}\!\bigl(\tfrac{0{,}75-0{,}15}{1,X-0{,}15}\bigr)\bigr]^{2}}.

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