(Valor: 2,0 pontos) Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo:
. Esses dados são da amplitude de amortecimento e o tempo para ocorrencia desse amortecimento. Com
e
A
20,00
16,00
12,00
8,00
4,00
t
41,75
82,95
135,18
206,34
331,15
Obtenha a constante de amortecimento do ar
GRAFICAMENTE. Apresente TODOS os cálculos necessários e TABELAS criadas.
| A | 20,00 | 16,00 | 12,00 | 8,00 | 4,00 |
| t | 41,75 | 82,95 | 135,18 | 206,34 | 331,15 |
Passo 1
Enunciado e dados importantes. O enunciado dá a relação
e pede que se obtenha graficamente a constante de amortecimento do ar
. Os dados fornecidos e constantes são:
-
(amplitude inicial). -
. - Tabela de amplitudes
e tempos :
O que o problema pede: determinar
usando um método gráfico (linearização e ajuste por reta). Vou transformar a lei exponencial numa forma linear, montar a tabela necessária, fazer o ajuste linear (mínimos quadrados — que é o procedimento que reproduz graficamente a reta de melhor ajuste) e, a partir da inclinação, calcular
. Vou mostrar todos os cálculos e explicar cada passo.
Passo 2
Linearização da equação e interpretação da reta. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Isso é uma equação na forma de reta:
onde, para o nosso ajuste:
Ou seja, se plotarmos
em função de
teremos uma reta cuja inclinação
é
. Explico rapidamente a propriedade que usei:
e
.
Para encontrar a inclinação da reta de melhor ajuste (gráfica), uso a fórmula de mínimos quadrados para inclinação:
onde
é o número de pontos e
. Vou montar a tabela com essas colunas e calcular as somas necessárias.
Passo 3
Construção da tabela com
,
e
.
Cálculo de
para cada ponto (usei
):
Agora complemento a tabela com
e
:
(Observação: os valores de
foram obtidos usando
. Os produtos
e
foram calculados aritmeticamente a partir de
e
.)
Passo 4
Cálculo das somas necessárias para a fórmula de mínimos quadrados.
Com
, calculamos:
Eu mantive casas decimais suficientes para evitar perda de precisão ao calcular a inclinação.]
Passo 5
Cálculo da inclinação
da reta de melhor ajuste. Substituindo na fórmula:
Substituindo os valores numéricos:
Calculando numerador e denominador:
Logo
Interpretação: a inclinação
tem unidade
(pois
é adimensional e
tem unidade s).]
Passo 6
Relação entre a inclinação e
. Da linearização temos
. Assim:
Antes de calcular, converto a massa para unidades SI (quilogramas):
Substituindo
e
:
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) obtemos
Se preferir em unidades de grama por segundo:
Passo 7
Resumo final do procedimento (como usar graficamente na prova):
- Fazer a transformação
e plotar esses pontos em função de . - Traçar a reta de melhor ajuste (na prova você pode traçar usando régua ou estimar a reta que minimiza desvios; a inclinação obtida é
). - Calcular
por (com em kg se quiser em ). - No exemplo acima, o ajuste por mínimos quadrados deu
e .
Força aí — você já tem o passo-a-passo para fazer esse tipo de questão na prova!