(Valor: 2,0 pontos) Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: \mathrm{A}=\mathrm{A}_{0} \mathrm{e}^{-(\mathrm{bt} / 2 \mathrm{~m})}. Esses dados são da amplitude de amortecimento e o tempo para ocorrencia desse amortecimento. Com \mathrm{A}_{0}=25 \mathrm{~cm} e \mathrm{m}=248,10 \mathrm{~g}
A 20,00 16,00 12,00 8,00 4,00
t 41,75 82,95 135,18 206,34 331,15
Obtenha a constante de amortecimento do ar b GRAFICAMENTE. Apresente TODOS os cálculos necessários e TABELAS criadas.

Passo 1

Enunciado e dados importantes. O enunciado dá a relação
A = A_{0} e^{-\frac{b t}{2 m}}
e pede que se obtenha graficamente a constante de amortecimento do ar b. Os dados fornecidos e constantes são:
  • A_{0}=25\\ \mathrm{cm} (amplitude inicial).
  • m=248,10\\ \mathrm{g}.
  • Tabela de amplitudes A e tempos t:
\begin{array}{c|ccccc} A\\ (\mathrm{cm}) & 20,00 & 16,00 & 12,00 & 8,00 & 4,00\\hline t\\ (\mathrm{s}) & 41,75 & 82,95 & 135,18 & 206,34 & 331,15 \end{array}
O que o problema pede: determinar b usando um método gráfico (linearização e ajuste por reta). Vou transformar a lei exponencial numa forma linear, montar a tabela necessária, fazer o ajuste linear (mínimos quadrados — que é o procedimento que reproduz graficamente a reta de melhor ajuste) e, a partir da inclinação, calcular b. Vou mostrar todos os cálculos e explicar cada passo.

Passo 2

Linearização da equação e interpretação da reta. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{A}{A_{0}}\right)=\ln(A)-\ln(A_0)=-\frac{b}{2m}\,t.
Isso é uma equação na forma de reta:
y = a + s\,x
onde, para o nosso ajuste:
x=t,\qquad y=\ln\!\left(\frac{A}{A_{0}}\right),\qquad a=0\quad(\text{porque em }t=0\\ \ln(A/A_0)=0),\qquad s=-\frac{b}{2m}.
Ou seja, se plotarmos \ln(A/A_0) em função de t teremos uma reta cuja inclinação s é -b/(2m). Explico rapidamente a propriedade que usei: \ln(\mathrm{e}^{u}) = u e \ln(\frac{A}{A_0})=\ln A - \ln A_0.
Para encontrar a inclinação da reta de melhor ajuste (gráfica), uso a fórmula de mínimos quadrados para inclinação:
s=\frac{N\sum (t\,y)-\left(\sum t\right)\left(\sum y\right)}{N\sum t^{2}-\left(\sum t\right)^{2}},
onde N é o número de pontos e y=\ln(A/A_0). Vou montar a tabela com essas colunas e calcular as somas necessárias.

Passo 3

Construção da tabela com \ln(A/A_0), t\cdot \ln(A/A_0) e t^{2}.
Cálculo de \ln\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right) para cada ponto (usei A_0=25\\ \mathrm{cm}):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{índice} & t\\ (\mathrm{s}) & A\\ (\mathrm{cm}) & \dfrac{A}{A_0} & y=\ln\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)\\hline 1 & 41,75 & 20,00 & 0,8000 & -0,22314355\\\\ 2 & 82,95 & 16,00 & 0,6400 & -0,44628710\\\\ 3 & 135,18 & 12,00 & 0,4800 & -0,73396918\\\\ 4 & 206,34 & 8,00 & 0,3200 & -1,13943428\\\\ 5 & 331,15 & 4,00 & 0,1600 & -1,83258146 \end{array}í
Agora complemento a tabela com t\cdot y e t^{2}:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{índice} & t\\ (\mathrm{s}) & y=\ln(A/A_0) & t\cdot y & t^{2}\\hline 1 & 41,75 & -0,22314355 & -9,316243 & 1743,0625\\\\ 2 & 82,95 & -0,44628710 & -37,020515 & 6880,7025\\\\ 3 & 135,18 & -0,73396918 & -99,217953 & 18273,6324\\\\ 4 & 206,34 & -1,13943428 & -235,110869 & 42576,1956\\\\ 5 & 331,15 & -1,83258146 & -606,858439 & 109660,3225 \end{array}í
(Observação: os valores de y foram obtidos usando \ln(A/A_0). Os produtos t\cdot y e t^{2} foram calculados aritmeticamente a partir de t e y.)

Passo 4

Cálculo das somas necessárias para a fórmula de mínimos quadrados.
Com N=5, calculamos:
\begin{aligned} \sum t &= 41{,}75+82{,}95+135{,}18+206{,}34+331{,}15 = 797{,}37,\\[4pt] \sum y &= -0{,}22314355-0{,}44628710-0{,}73396918-1{,}13943428-1{,}83258146 = -4{,}37541557,\\[4pt] \sum t\,y &= -9{,}316243-37{,}020515-99{,}217953-235{,}110869-606{,}858439 = -987{,}524019,\\[4pt] \sum t^{2} &= 1743{,}0625+6880{,}7025+18273{,}6324+42576{,}1956+109660{,}3225 = 179133{,}9155. \end{aligned}
Eu mantive casas decimais suficientes para evitar perda de precisão ao calcular a inclinação.]

Passo 5

Cálculo da inclinação s da reta de melhor ajuste. Substituindo na fórmula:
s=\frac{N\sum (t\,y)-\left(\sum t\right)\left(\sum y\right)}{N\sum t^{2}-\left(\sum t\right)^{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
s=\frac{5\cdot(-987{,}524019)-797{,}37\cdot(-4{,}37541557)}{5\cdot179133{,}9155-(797{,}37)^{2}}.
Calculando numerador e denominador:
\begin{aligned} \text{num} &= -4937{,}620095 + 3488{,}825114 = -1448{,}794981,\\[4pt] \text{den} &= 895669{,}5775 - 635798{,}9169 = 259870{,}6606. \end{aligned}
Logo
s=\frac{-1448{,}794981}{259870{,}6606} \approx -0{,}005576.
Interpretação: a inclinação s tem unidade \mathrm{s^{-1}} (pois y é adimensional e x=t tem unidade s).]

Passo 6

Relação entre a inclinação e b. Da linearização temos s=-\dfrac{b}{2m}. Assim:
b=-2m\,s.
Antes de calcular, converto a massa para unidades SI (quilogramas):
m=248{,}10\\ \mathrm{g}=0{,}24810\\ \mathrm{kg}.
Substituindo m e s:
b=-2\cdot(0{,}24810)\cdot(-0{,}005576)\approx 0{,}0027668\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) obtemos
b\approx 0{,}00277\\ \mathrm{kg/s}.
Se preferir em unidades de grama por segundo:
b\approx 2{,}77\\ \mathrm{g/s}.

Passo 7

Resumo final do procedimento (como usar graficamente na prova):
  • Fazer a transformação \ln(A/A_0) e plotar esses pontos em função de t.
  • Traçar a reta de melhor ajuste (na prova você pode traçar usando régua ou estimar a reta que minimiza desvios; a inclinação obtida é s).
  • Calcular b por b=-2m\,s (com m em kg se quiser b em \mathrm{kg/s}).
  • No exemplo acima, o ajuste por mínimos quadrados deu s\approx -0{,}005576 e b\approx 0{,}00277\\ \mathrm{kg/s}.
Força aí — você já tem o passo-a-passo para fazer esse tipo de questão na prova!

Resposta

b = 0,00277\\ \mathrm{kg/s}

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