3- A resistência elétrica de um resistor de fio metálico é 50 ohms. Cortando-se um pedaço de
do fio, verifica-se que a resistência do resistor passa a ser 15 ohms. Calcule o comprimento total do fio.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o comprimento total do fio antes de cortar. As informações dadas são:
- A resistência inicial do resistor é
. - Foi cortado um pedaço de comprimento
. - Após cortar, a resistência passou a ser
.
O objetivo é encontrar o comprimento total inicial do fio (antes do corte).
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula importante (e vou explicar cada coisa): a resistência elétrica de um fio uniforme é dada por
onde:
-
é a resistência do fio (em ), -
é a resistividade do material (uma constante do material, em ), -
é o comprimento do fio (em ), -
é a área da secção transversal do fio (em ).
Aqui o fio é o mesmo antes e depois do corte, entãoe permanecem constantes. Por isso a resistência é diretamente proporcional ao comprimento: se o comprimento dobra, a resistência dobra; se o comprimento é cortado pela metade, a resistência cai à metade. Em símbolos: .
Passo 3
Por causa dessa proporcionalidade podemos escrever (usando uma constante
):
onde
é a resistência inicial,
é a resistência depois do corte, e
é o comprimento inicial que queremos achar. Dividindo as duas equações para eliminar
:
Passo 4
Substituo os valores numéricos na relação obtida:
Faço a simplificação da fração da esquerda:
Logo
Passo 5
Agora resolvo a equação para
. Primeiro transformo a igualdade:
Isto porque
. Assim
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por
:
Passo 6
Isolo
invertendo a fração:
Para facilitar a conta, multiplico numerador e denominador por
:
Como número decimal,
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): a razão
vale
pela construção, então a resistência nova é
, que confere com o enunciado. Está consistente.
Passo 8
Resumo final: o comprimento total inicial do fio é
, aproximadamente
. Boa — você já tem a resposta e a verificação; respira, que isso é clássico e você mandou bem acompanhando cada passo!