3- A resistência elétrica de um resistor de fio metálico é 50 ohms. Cortando-se um pedaço de 2,2 \mathrm{~m} do fio, verifica-se que a resistência do resistor passa a ser 15 ohms. Calcule o comprimento total do fio.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o comprimento total do fio antes de cortar. As informações dadas são:
  • A resistência inicial do resistor é \,50\\ \Omega.
  • Foi cortado um pedaço de comprimento \,2{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Após cortar, a resistência passou a ser \,15\\ \Omega.
    O objetivo é encontrar o comprimento total inicial do fio (antes do corte).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula importante (e vou explicar cada coisa): a resistência elétrica de um fio uniforme é dada por
R = \rho \frac{L}{A},
onde:
  • \,R é a resistência do fio (em \Omega),
  • \,\rho é a resistividade do material (uma constante do material, em \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}),
  • \,L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}),
  • \,A é a área da secção transversal do fio (em \mathrm{m}^2).
    Aqui o fio é o mesmo antes e depois do corte, então \rho e A permanecem constantes. Por isso a resistência é diretamente proporcional ao comprimento: se o comprimento dobra, a resistência dobra; se o comprimento é cortado pela metade, a resistência cai à metade. Em símbolos: R\propto L.

Passo 3

Por causa dessa proporcionalidade podemos escrever (usando uma constante k=\rho/A):
R_1 = kL
R_2 = k(L - 2{,}2)
onde \,R_1=50\\ \Omega é a resistência inicial, \,R_2=15\\ \Omega é a resistência depois do corte, e \,L é o comprimento inicial que queremos achar. Dividindo as duas equações para eliminar k:
\frac{R_2}{R_1}=\frac{L-2{,}2}{L}.

Passo 4

Substituo os valores numéricos na relação obtida:
\frac{15}{50}=\frac{L-2{,}2}{L}.
Faço a simplificação da fração da esquerda:
\frac{15}{50}=\frac{3}{10}=0{,}3.
Logo
0{,}3=\frac{L-2{,}2}{L}.

Passo 5

Agora resolvo a equação para L. Primeiro transformo a igualdade:
0{,}3=\frac{L-2{,}2}{L}=1-\frac{2{,}2}{L}.
Isto porque \dfrac{L-2{,}2}{L}=1-\dfrac{2{,}2}{L}. Assim
0{,}3=1-\frac{2{,}2}{L}.
Subtraindo 1 dos dois lados:
0{,}3-1=-\frac{2{,}2}{L}
-0{,}7=-\frac{2{,}2}{L}.
Multiplicando por -1:
0{,}7=\frac{2{,}2}{L}.

Passo 6

Isolo L invertendo a fração:
L=\frac{2{,}2}{0{,}7}.
Para facilitar a conta, multiplico numerador e denominador por 10:
L=\frac{22}{7}.
Como número decimal,
L\approx 3{,}142857\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): a razão \dfrac{L-2{,}2}{L} vale 0{,}3 pela construção, então a resistência nova é R_2=R_1\cdot 0{,}3=50\cdot 0{,}3=15\\ \Omega, que confere com o enunciado. Está consistente.

Passo 8

Resumo final: o comprimento total inicial do fio é \dfrac{22}{7}\\ \mathrm{m}, aproximadamente 3{,}142857\\ \mathrm{m}. Boa — você já tem a resposta e a verificação; respira, que isso é clássico e você mandou bem acompanhando cada passo!

Resposta

\dfrac{22}{7}\\ \mathrm{m}

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