Qual a massa de uma criança que pula de uma altura de 5 m sobre uma cama elástica de constante elástica igual a 1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} que sofre uma deformação de 2 m ?

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma criança que salta de uma altura e deforma uma cama elástica. Dados fornecidos:
\;h=5\\ \mathrm{m} (altura inicial acima da superfície não comprimida),
\;k=1000\\ \mathrm{N/m} (constante elástica da cama),
\;x=2\\ \mathrm{m} (deformação máxima da cama).
O que se pede: calcular a massa m da criança. Vou assumir que \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e desprezar perdas por atrito ou dissipação (energia conservada entre gravidade e mola).

Passo 2

Princípio físico usado (explicado de forma simples): ao cair, a criança perde energia potencial gravitacional e essa energia é armazenada na cama elástica como energia potencial elástica quando a deformação é máxima. No ponto de máxima compressão a velocidade instantânea é zero, então toda a energia gravitacional perdida tornou-se energia elástica (se não houver perdas).
A energia potencial gravitacional é dada por
U_g = m g \Delta h,
onde \;m é a massa, \;g a aceleração da gravidade e \;\Delta h a queda do centro de massa.
A energia potencial elástica da mola (cama) é
U_s = \frac{1}{2} k x^2,
onde \;k é a constante elástica e \;x a deformação.

Passo 3

Identificação da queda total do centro de massa até o ponto de máxima compressão:
a criança cai \;h até tocar a cama não comprimida e, depois, a cama deforma mais \;x até o máximo. Portanto a variação de altura é \;\Delta h = h + x.
Pela conservação de energia (sem perdas):
m g (h+x) = \frac{1}{2} k x^2.
Isolando m:
m = \frac{k x^2}{2 g (h+x)}.
Aqui:
\;k é a constante da cama ( \mathrm{N/m}),
\;x é a deformação máxima ( \mathrm{m}),
\;g é 9,8\\ \mathrm{m/s^2},
\;h é a altura de onde a criança caiu ( \mathrm{m}).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
k = 1000\\ \mathrm{N/m},\quad x = 2\\ \mathrm{m},\quad h = 5\\ \mathrm{m},\quad g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calcule o numerador:
k x^2 = 1000 \times 2^2 = 1000 \times 4 = 4000\\ \mathrm{J}.
Calcule o denominador:
2 g (h+x) = 2 \times 9,8 \times (5+2) = 19,6 \times 7 = 137,2.
Agora a massa:
m = \frac{4000}{137,2} \approx 29,197 \dots

Passo 5

Arredondando de forma adequada (duas casas significativas é suficiente aqui):
m \approx 29,2\\ \mathrm{kg}.
Interpretação rápida: esse valor é físico e corresponde a uma criança relativamente leve; se você usasse g\approx 10\\ \mathrm{m/s^2} obteria um valor próximo \;28,6\\ \mathrm{kg}.

Resposta

29,2\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados