9- A resistência equivalente de dois resistores R1 e R2 em paralelo é 10 / 3 ohms. A corrente que penetra no circuito paralelo divide-se entre os dois na proporção de 2 para 1. Determinar R1 e R2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de dois resistores R_1 e R_2 que estão em paralelo, sabendo duas coisas:
  • A resistência equivalente do paralelo é \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{10}{3}\\ \Omega.
  • A corrente que entra no circuito divide-se entre os dois resistores na proporção 2:1 (isto é, a corrente em R_1 é o dobro da corrente em R_2).
Informações relevantes dadas:
  • \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{10}{3}\\ \Omega.
  • \displaystyle \frac{I_1}{I_2}=2 (onde I_1 é a corrente por R_1 e I_2 por R_2).
  • Os resistores estão em paralelo (isto implica que ambos têm a mesma diferença de potencial V aplicada).

Passo 2

Conceito importante (explicação passo a passo): em um circuito paralelo os dois resistores têm a mesma tensão V aplicada. A corrente em cada resistor obedece à Lei de Ohm:
I_1=\frac{V}{R_1},\qquad I_2=\frac{V}{R_2}.
Se dividirmos essas expressões obtemos a relação entre correntes e resistências:
\frac{I_1}{I_2}=\frac{V/R_1}{V/R_2}=\frac{R_2}{R_1}.
Observação: a tensão V cancela, por isso a razão de correntes depende só da razão entre resistências, invertida.

Passo 3

Aplicando a proporção dada \displaystyle \frac{I_1}{I_2}=2 na fórmula anterior:
\frac{R_2}{R_1}=2.
Isto implica diretamente que
R_2=2R_1.
Explicação: como a corrente em R_1 é o dobro da corrente em R_2, o resistor R_1 é metade da resistência de R_2.

Passo 4

Fórmula da resistência equivalente de dois resistores em paralelo (dou a forma e explico):
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.
Alternativamente (forma equivalente):
R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.
Aqui R_{\text{eq}} é a resistência total vista pelos terminais do paralelo, e R_1,R_2 são as resistências individuais.

Passo 5

Substituo R_2=2R_1 na expressão para 1/R_{\text{eq}}:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{2R_1}=\frac{3}{2R_1}.
Como o enunciado dá \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{10}{3}\\ \Omega, calculo \displaystyle \frac{1}{R_{\text{eq}}}:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{10/3}=\frac{3}{10}.
Então igualo as duas expressões:
\frac{3}{2R_1}=\frac{3}{10}.

Passo 6

Resolvo a equação para R_1. Primeiro simplifico dividindo ambos os lados por 3:
\frac{1}{2R_1}=\frac{1}{10}.
Agora isolo R_1: multiplicando ambos os lados por 2R_1 e por 10 (fazendo passo a passo),
1=\frac{2R_1}{10}\quad\Rightarrow\quad 2R_1=10\quad\Rightarrow\quad R_1=5\\ \Omega.

Passo 7

Encontro R_2 usando R_2=2R_1:
R_2=2\cdot 5\\ \Omega=10\\ \Omega.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática): calcular 1/R_1+1/R_2:
\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=0{,}2+0{,}1=0{,}3=\frac{3}{10},
logo \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{1}{3/10}=\frac{10}{3}\\ \Omega, que bate com o enunciado. Verifico também a razão das correntes:
\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{10}{5}=2,
também confere. Tudo está consistente — bom trabalho, está certinho!

Resposta

R_1=5\\ \Omega
R_2=10\\ \Omega

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