A resistência do ar (força de arrasto) sobre uma bola de 200 g em queda livre é dada por
, em que
é dada em newtons e
em metros por segundo. Se a bola for largada do repouso a 500 m acima do solo, determine a velocidade com que ela atinge o solo. Que porcentagem da velocidade terminal esse valor representa? (A velocidade terminal é a velocidade de regime permanente que um corpo em queda livre eventualmente atinge.)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a velocidade com que a bola atinge o solo depois de ser largada do repouso a 500 m de altura.
- Determinar que porcentagem da velocidade terminal essa velocidade representa.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da figura):
- Massa da bola:
. - Força de arrasto:
(com em newtons e em ). Vou chamar . - Altura inicial:
. - Velocidade inicial:
. - Aceleração da gravidade: vou usar
(valor padrão quando não dado).
Pergunta final: encontrar(velocidade ao atingir o solo) e a porcentagem , onde é a velocidade terminal.
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton na direção do movimento (para queda vertical, com
positivo para baixo):
Explicação física curta:
é o peso para baixo e
é a força de arrasto para cima que aumenta com o quadrado da velocidade; por isso a aceleração diminui conforme
cresce.
Definimos a constante
Então a equação fica
Velocidade terminal
é o valor de
quando a aceleração se anula (
), ou seja:
Agora calculamos numericamente
:
portanto
Passo 3
Para relacionar velocidade com a posição (em vez do tempo) usamos
(é a regra da cadeia, pois
). Substituindo na equação do movimento:
Agora separamos variáveis para integrar de
(largada) até
(solo) e de
até
:
Passo 4
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo fazemos a substituição
, assim
, ou
. Portanto
Avaliação dos limites dá
Multiplicando por
e exponenciando:
Isolando
:
Logo
Como vimos antes
, obtemos a fórmula limpa
Passo 5
Agora substituímos os números:
Calculamos
:
Portanto
. Usando
(do Passo 2):
Logo
Passo 6
Agora a porcentagem da velocidade terminal:
ou seja aproximadamente
.
Observação motivadora: a bola atinge uma fração significativa da velocidade terminal porque 500 m de queda é bastante espaço para acelerar, mas não suficiente para atingir exatamente
da velocidade terminal — com arrasto quadrático a velocidade tende logisticamente a
.