A resistência do ar (força de arrasto) sobre uma bola de 200 g em queda livre é dada por F_{D}=2 \times 10^{-4} \mathrm{~V}^{2}, em que F_{D} é dada em newtons e V em metros por segundo. Se a bola for largada do repouso a 500 m acima do solo, determine a velocidade com que ela atinge o solo. Que porcentagem da velocidade terminal esse valor representa? (A velocidade terminal é a velocidade de regime permanente que um corpo em queda livre eventualmente atinge.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a velocidade com que a bola atinge o solo depois de ser largada do repouso a 500 m de altura.
  • Determinar que porcentagem da velocidade terminal essa velocidade representa.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da figura):
  • Massa da bola: m=200\\ \text{g} = 0,2\\ \mathrm{kg}.
  • Força de arrasto: F_{D}=2\times10^{-4}\,V^{2} (com F_{D} em newtons e V em \mathrm{m/s}). Vou chamar k=2\times10^{-4}.
  • Altura inicial: H=500\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial: V(0)=0.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão quando não dado).
    Pergunta final: encontrar V(H) (velocidade ao atingir o solo) e a porcentagem 100\cdot V(H)/V_{t}, onde V_{t} é a velocidade terminal.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton na direção do movimento (para queda vertical, com v positivo para baixo):
m\frac{dv}{dt}=mg - F_{D}=mg - k v^{2}.
Explicação física curta: mg é o peso para baixo e k v^{2} é a força de arrasto para cima que aumenta com o quadrado da velocidade; por isso a aceleração diminui conforme v cresce.
Definimos a constante
\alpha=\frac{k}{m}.
Então a equação fica
\frac{dv}{dt}=g - \alpha v^{2}.
Velocidade terminal V_{t} é o valor de v quando a aceleração se anula ( dv/dt=0), ou seja:
0=g-\alpha V_{t}^{2}\quad\Rightarrow\quad V_{t}=\sqrt{\frac{g}{\alpha}}=\sqrt{\frac{mg}{k}}.
Agora calculamos numericamente V_{t}:
V_{t}^{2}=\frac{mg}{k}=\frac{0,2\cdot 9,8}{2\times10^{-4}}=\frac{1,96}{2\times10^{-4}}=9800,
portanto
V_{t}=\sqrt{9800}\approx 98,99\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para relacionar velocidade com a posição (em vez do tempo) usamos \dfrac{dv}{dt}=v\,\dfrac{dv}{dy} (é a regra da cadeia, pois dv/dt = (dv/dy)(dy/dt)=v\,dv/dy). Substituindo na equação do movimento:
v\frac{dv}{dy}=g - \alpha v^{2}.
Agora separamos variáveis para integrar de y=0 (largada) até y=H (solo) e de v=0 até v=V(H):
\frac{v}{g-\alpha v^{2}}\,dv = dy.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo fazemos a substituição u=g-\alpha v^{2}, assim du=-2\alpha v\,dv, ou v\,dv=-\dfrac{du}{2\alpha}. Portanto
\int_{0}^{V(H)}\frac{v}{g-\alpha v^{2}}\,dv = -\frac{1}{2\alpha}\int_{g}^{\,g-\alpha V(H)^{2}}\frac{du}{u} = -\frac{1}{2\alpha}\Big[\ln\big(g-\alpha v^{2}\big)\Big]_{0}^{V(H)}.
Avaliação dos limites dá
-\frac{1}{2\alpha}\left(\ln\big(g-\alpha V(H)^{2}\big)-\ln g\right)=H.
Multiplicando por -2\alpha e exponenciando:
\ln\!\left(\frac{g}{g-\alpha V(H)^{2}}\right)=2\alpha H \quad\Rightarrow\quad \frac{g}{g-\alpha V(H)^{2}}=e^{2\alpha H}.
Isolando V(H)^{2}:
g-\alpha V(H)^{2}=g e^{-2\alpha H} \quad\Rightarrow\quad \alpha V(H)^{2}=g\big(1-e^{-2\alpha H}\big).
Logo
V(H)^{2}=\frac{g}{\alpha}\big(1-e^{-2\alpha H}\big).
Como vimos antes \dfrac{g}{\alpha}=V_{t}^{2}, obtemos a fórmula limpa
V(H)=V_{t}\sqrt{1-e^{-2\alpha H}}.

Passo 5

Agora substituímos os números:
\alpha=\frac{k}{m}=\frac{2\times10^{-4}}{0,2}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calculamos 2\alpha H:
2\alpha H=2\cdot(1\times10^{-3})\cdot 500 = 1.
Portanto e^{-2\alpha H}=e^{-1}\approx 0,3678794412. Usando V_{t}^{2}=9800 (do Passo 2):
V(H)^{2}=9800\big(1-e^{-1}\big)=9800\cdot 0,6321205588\approx 6194,78.
Logo
V(H)=\sqrt{6194,78}\approx 78,71\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a porcentagem da velocidade terminal:
\frac{V(H)}{V_{t}}=\sqrt{1-e^{-1}}\approx 0,79506,
ou seja aproximadamente 79,5\%.
Observação motivadora: a bola atinge uma fração significativa da velocidade terminal porque 500 m de queda é bastante espaço para acelerar, mas não suficiente para atingir exatamente 100\% da velocidade terminal — com arrasto quadrático a velocidade tende logisticamente a V_{t}.

Resposta

\,V(H)\approx 78,7\\ \mathrm{m/s}
79{,}5\%\\ \text{da velocidade terminal}

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