( 30 pontos) Ar é aspirado da atmosfera, a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e velocidade desprezível, para dentro de um compressor que o descarrega a uma velocidade de 110 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, 400 \mathrm{kPa} e 150^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a taxa de transferência de calor do compressor para o meio é de 742 kW e a vazão mássica de ar é de 1,2 \mathrm{~kg} . \mathrm{s}^{-1}, determine a potência fornecida ao compressor.
Adotar \mathrm{Cp}_{\mathrm{ar}}=1005 \mathrm{~J} . \mathrm{kg}^{-1} . \mathrm{K}^{-1}.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de entrada do ar: T_1 = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade de entrada desprezível (vou tomar V_1 \approx 0).
    • Estado de descarga (saída): velocidade V_2 = 110\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}, pressão p_2 = 400\\ \mathrm{kPa} (não será necessária diretamente) e temperatura T_2 = 150^\circ\mathrm{C}.
    • Taxa de transferência de calor do compressor para o meio (calor rejeitado): 742\\ \mathrm{kW}.
    • Vazão mássica de ar: \dot{m} = 1{,}2\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}.
    • Calor específico do ar (à pressão constante): C_{p,\mathrm{ar}} = 1005\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a potência fornecida ao compressor (potência de eixo ou trabalho por unidade de tempo fornecido ao fluido).

Passo 2

Princípio físico e equação de balanço de energia (explicação didática).
Para um dispositivo de fluxo contínuo em regime estacionário (compressor), o balanço de energia por unidade de tempo, considerando energia de fluxo convectiva (entalpia), energia cinética e calor/trabalho, é:
\dot{Q}_{\text{in}}+\dot{W}_{\text{in}}+\dot{m}\left(h_1+\frac{V_1^2}{2}+g z_1\right) =\dot{m}\left(h_2+\frac{V_2^2}{2}+g z_2\right),
onde:
  • \dot{Q}_{\text{in}} é a taxa de calor entra no sistema (positivo se entra).
  • \dot{W}_{\text{in}} é a potência fornecida ao sistema (trabalho feito sobre o fluido — positivo se entra).
  • \dot{m} é a vazão mássica.
  • h_1,h_2 são as entalpias específicas nos estados 1 e 2.
  • V_1,V_2 são velocidades absolutas nos estados 1 e 2.
  • g z é a energia potencial (vamos desprezar, explico no próximo passo).
Rearranjando para obter a potência fornecida ao compressor:
\dot{W}_{\text{in}}=\dot{m}\left(h_2-h_1+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}\right)-\dot{Q}_{\text{in}}.
Comentário sobre sinais: se o enunciado diz "taxa de transferência de calor do compressor para o meio é de 742\\ \mathrm{kW}", isso significa que o calor sai do sistema; portanto \dot{Q}_{\text{in}} = -742\\ \mathrm{kW} (negativo porque calor está saindo).

Passo 3

Hipóteses e simplificações (por que são razoáveis).
  • Regime estacionário (dados do enunciado implicam fluxo contínuo) — aplica-se a equação acima.
  • Energia potencial (termos g z) desprezível: nenhum dado sobre desníveis e normalmente é pequena comparada às outras energias aqui.
  • Velocidade de entrada desprezível (dado): V_1\approx 0.
  • Ar tratado como gás ideal com h \approx C_p T (Cp fornecido e considerado constante).
    Essas hipóteses simplificam os cálculos sem perder precisão relevante para o problema.

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin e calcular a variação de entalpia (aula curta sobre entalpia).
  • Temperaturas em Kelvin: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25+273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 150^\circ\mathrm{C} = 150+273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para um gás ideal com C_p constante, a entalpia específica varia aproximadamente como h_2-h_1 = C_p\,(T_2-T_1).Aqui C_p = 1005\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Então: h_2-h_1 = 1005\cdot(423{,}15-298{,}15)\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}} =1005\cdot125{,}0\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.Calcule: h_2-h_1 = 125\,625\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.
Explicação rápida: h (entalpia específica) mede a energia interna mais o termo p v; para ar ideal com Cp constante, a diferença de entalpia depende só da diferença de temperatura multiplicada por C_p.

Passo 5

Calcular a variação de energia cinética específica.
  • Energia cinética específica é \dfrac{V^2}{2}.
  • Com V_1\approx 0 e V_2=110\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}, \frac{V_2^2-V_1^2}{2}=\frac{110^2-0}{2}=\frac{12100}{2}=6050\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.

Passo 6

Calcular a variação total de energia específica e multiplicar pela vazão mássica.
  • Variação total por kg: \Delta e = (h_2-h_1)+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}=125\,625+6\,050=131\,675\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.
  • Multiplicando pela vazão mássica \dot{m}=1{,}2\\ \mathrm{kg\cdot s^{-1}}, \dot{m}\,\Delta e = 1{,}2\cdot 131\,675 =158\,010\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Tratar a taxa de calor e aplicar a equação para obter a potência.
  • O enunciado diz que o compressor transfere 742\\ \mathrm{kW} para o meio, ou seja, calor sai do sistema. Portanto: \dot{Q}_{\text{in}} = -742\\ \mathrm{kW} = -742\,000\\ \mathrm{W}.
  • Usando a fórmula do Passo 2: \dot{W}_{\text{in}}=\dot{m}\left(h_2-h_1+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}\right)-\dot{Q}_{\text{in}}.Substituindo números: \dot{W}_{\text{in}}=158\,010\\ \mathrm{W} - (-742\,000\\ \mathrm{W}) =158\,010+742\,000=900\,010\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando de forma razoável (dados têm 3 algarismos), obtemos aproximadamente \dot{W}_{\text{in}}\approx 900\\ \mathrm{kW}.
Breve interpretação: como o compressor rejeita calor ao ambiente (retira energia térmica do fluido), é necessário fornecer ainda mais trabalho ao fluido para alcançar a entalpia/velocidade de saída desejada — por isso o termo com -\dot{Q}_{\text{in}} aumenta a potência requerida.

Resposta

900\\ \mathrm{kW}

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