Determine o torque necessário para girar um cilindro vertical de 50 mm de diāmetro a uma velocidade angular constante de
dentro de um cilindro externo fixo com diâmetro de
. O espaço entre os cilindros é preenchido com óleo SAE 10 a
. O comprimento do cilindro interno é de 200 mm . Despreze os efeitos de fundo e assuma que a distribuição de velocidade no espaço é linear. Se a temperatura do óleo aumentar para
. qual será a variação percentual do torque?
Passo 1
O que o enunciado dá (valores que serão usados; peguei todos do enunciado):
- diâmetro do cilindro interno:
. - diâmetro do cilindro externo:
. - espaço entre os cilindros preenchido com óleo SAE 10.
- viscosidade dinâmica a
: . - viscosidade dinâmica a
: . - comprimento do cilindro interno:
. - velocidade angular do cilindro interno:
. - Assuma: efeitos de fundo desprezíveis e distribuição de velocidade linear no gap (perfil linear no espaço entre os cilindros).
O que o enunciado pede:
- Determinar o torque necessário para girar o cilindro interno nas condições iniciais (
). - Se a temperatura do óleo aumentar para
, qual será a variação percentual do torque?
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (aula curta e passo-a-passo).
- Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento tangencial (shear stress) é proporcional ao gradiente de velocidade:
, onde: -
é a tensão de cisalhamento (N/m²), -
é a viscosidade dinâmica (N·s/m²), -
é a velocidade tangencial do fluido (m/s), -
é a coordenada radial (m).
-
- No caso dado temos um cilindro interno girando com velocidade tangencial na superfície
, e o cilindro externo estacionário. Com a hipótese de perfil linear no gap de espessura , o gradiente de velocidade radial próximo à superfície interna é aproximado por . - A força de atrito tangencial sobre uma pequena área
da superfície do cilindro interno é . Para o cilindro interno a área lateral é (onde é o comprimento e o ângulo). - O torque associado a essa força é
. Integrando ao longo de toda a circunferência (de a ) e usando constante na superfície (pela hipótese), obtemos a expressão:
- Simplificando:
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Observação: depende linearmente de
(logo a variação de torque ao mudar temperatura segue a razão das viscosidades).
Passo 3
Converter as dimensões para o SI e calcular parâmetros geométricos.
- raio interno:
. - raio externo:
. - gap:
. - comprimento:
. - velocidade angular:
. - verificando
:
Passo 4
Cálculo do torque para
com
.
Usando a fórmula
Usando a fórmula
substituindo passo a passo:
Agora
Calcule os fatores:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Torque para
e variação percentual.
- Como
é proporcional a , a razão entre torques é igual à razão entre viscosidades:
- Portanto
- Variação percentual do torque (definida aqui como
):
Ou seja, o torque diminui em
quando a temperatura sobe de
para
(torque passa a
do valor original).