Determine o torque necessário para girar um cilindro vertical de 50 mm de diāmetro a uma velocidade angular constante de 30 \mathrm{rad} / \mathrm{s} dentro de um cilindro externo fixo com diâmetro de 50,2 \mathrm{~mm}. O espaço entre os cilindros é preenchido com óleo SAE 10 a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1,0 \times 10^{-1} \mathrm{~N} . \mathrm{S} / \mathrm{m}^{2}\right). O comprimento do cilindro interno é de 200 mm . Despreze os efeitos de fundo e assuma que a distribuição de velocidade no espaço é linear. Se a temperatura do óleo aumentar para 80^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=8,0 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{S} / \mathrm{m}^{2}\right). qual será a variação percentual do torque?

Passo 1

O que o enunciado dá (valores que serão usados; peguei todos do enunciado):
  • diâmetro do cilindro interno: 50\\ \mathrm{mm}.
  • diâmetro do cilindro externo: 50{,}2\\ \mathrm{mm}.
  • espaço entre os cilindros preenchido com óleo SAE 10.
  • viscosidade dinâmica a 20^\circ\mathrm{C}: \mu_{20}=1{,}0\times10^{-1}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • viscosidade dinâmica a 80^\circ\mathrm{C}: \mu_{80}=8{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • comprimento do cilindro interno: L=200\\ \mathrm{mm}.
  • velocidade angular do cilindro interno: \omega=30\\ \mathrm{rad/s}.
  • Assuma: efeitos de fundo desprezíveis e distribuição de velocidade linear no gap (perfil linear no espaço entre os cilindros).
    O que o enunciado pede:
  1. Determinar o torque necessário para girar o cilindro interno nas condições iniciais ( 20^\circ\mathrm{C}).
  2. Se a temperatura do óleo aumentar para 80^\circ\mathrm{C}, qual será a variação percentual do torque?

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (aula curta e passo-a-passo).
  • Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento tangencial (shear stress) é proporcional ao gradiente de velocidade: \tau=\mu\,\dfrac{du}{dr}, onde:
    • \tau é a tensão de cisalhamento (N/m²),
    • \mu é a viscosidade dinâmica (N·s/m²),
    • u é a velocidade tangencial do fluido (m/s),
    • r é a coordenada radial (m).
  • No caso dado temos um cilindro interno girando com velocidade tangencial na superfície \,U=\omega R_i, e o cilindro externo estacionário. Com a hipótese de perfil linear no gap de espessura h=R_o-R_i, o gradiente de velocidade radial próximo à superfície interna é aproximado por \dfrac{du}{dr}\approx\dfrac{U-0}{h}=\dfrac{\omega R_i}{h}.
  • A força de atrito tangencial sobre uma pequena área dA da superfície do cilindro interno é dF=\tau\,dA. Para o cilindro interno a área lateral é dA=R_i\,d\theta\cdot L (onde L é o comprimento e \theta o ângulo).
  • O torque associado a essa força é dM = dF \cdot R_i. Integrando ao longo de toda a circunferência (de \theta=0 a 2\pi) e usando \tau=\mu(\omega R_i/h) constante na superfície (pela hipótese), obtemos a expressão:
M = \int_0^{2\pi} \tau \, (R_i\,d\theta \cdot L)\, R_i = \tau \, 2\pi R_i^2 L = 2\pi \mu \frac{\omega R_i}{h} R_i^2 L.
  • Simplificando:
\boxed{\,M = 2\pi \mu \,\omega \,\frac{R_i^3 L}{h}\,}
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Observação: depende linearmente de \mu (logo a variação de torque ao mudar temperatura segue a razão das viscosidades).

Passo 3

Converter as dimensões para o SI e calcular parâmetros geométricos.
  • raio interno: R_i=\dfrac{50\\ \mathrm{mm}}{2}=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • raio externo: R_o=\dfrac{50{,}2\\ \mathrm{mm}}{2}=25{,}1\\ \mathrm{mm}=0{,}0251\\ \mathrm{m}.
  • gap: h=R_o-R_i=0{,}0251-0{,}025=0{,}0001\\ \mathrm{m}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • comprimento: L=200\\ \mathrm{mm}=0{,}2\\ \mathrm{m}.
  • velocidade angular: \omega=30\\ \mathrm{rad/s}.
  • verificando R_i^3:
R_i^3=(0{,}025)^3=0{,}000015625\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Cálculo do torque para \,T_{20} com \mu_{20}=1{,}0\times10^{-1}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
Usando a fórmula
M = 2\pi \mu \,\omega \,\frac{R_i^3 L}{h},
substituindo passo a passo:
\frac{R_i^3 L}{h}=\frac{0{,}000015625\cdot 0{,}2}{1{,}0\times10^{-4}} =\frac{0{,}000003125}{1{,}0\times10^{-4}}=0{,}03125.
Agora
M_{20}=2\pi \cdot (1{,}0\times10^{-1})\cdot 30\cdot 0{,}03125.
Calcule os fatores:
(1{,}0\times10^{-1})\cdot 30 = 3{,}0, \qquad 3{,}0\cdot 0{,}03125 = 0{,}09375,
M_{20}=2\pi\cdot 0{,}09375 = 0{,}09375\cdot 6{,}283185\ldots \approx 0{,}5892\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando razoavelmente:
M_{20}\approx 0{,}589\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Torque para 80^\circ\mathrm{C} e variação percentual.
  • Como M é proporcional a \mu, a razão entre torques é igual à razão entre viscosidades:
\frac{M_{80}}{M_{20}}=\frac{\mu_{80}}{\mu_{20}}=\frac{8{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-1}}=0{,}08.
  • Portanto
M_{80}=0{,}08\cdot M_{20}=0{,}08\cdot 0{,}5892\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 0{,}04714\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Variação percentual do torque (definida aqui como \dfrac{M_{80}-M_{20}}{M_{20}}\times100\%):
\Delta\% = \left(\frac{M_{80}}{M_{20}}-1\right)\times100\% = (0{,}08-1)\times100\% = -92\%.
Ou seja, o torque diminui em 92\% quando a temperatura sobe de 20^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C} (torque passa a 8\% do valor original).

Resposta

M_{20^\circ\mathrm{C}} \approx 0{,}589\\ \mathrm{N\cdot m}
\text{Variação percentual} = -92\%çã

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