Resistência viscosa linear
Um corpo se move em ambiente viscoso, com dv/dt = -kv, \mathrm{v}_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{k}=0,2 \mathrm{~s}^{-1}.
Determinar:
a) v(t) e x(t).
b) Distância total.
c) Interprete a tendência de \mathrm{v}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do movimento com resistência viscosa linear e pede três coisas. Dados fornecidos e pedidos:
  • Equação: \dfrac{dv}{dt}=-kv.
  • Condição inicial de velocidade: \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_{0}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Constante de arrasto: k=0,2\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Pedidos:
    a) Determinar \mathrm{v}(t) e \mathrm{x}(t).
    b) Determinar a distância total percorrida.
    c) Interpretar a tendência de \mathrm{v}(t) (ou seja, o comportamento da velocidade com o tempo).
  • Observação necessária: o enunciado não informou a posição inicial \mathrm{x}(0). Para obter uma expressão única para \mathrm{x}(t) vou assumir \mathrm{x}(0)=0 (posição inicial zero), que é a escolha mais comum. Se a posição inicial for outra, basta somar essa constante ao resultado final.

Passo 2

Resolver \dfrac{dv}{dt}=-kv por separação de variáveis (método simples e padrão para equações do tipo \dfrac{dv}{dt}=f(v)) e explicar cada etapa:
  • A ideia de separação é reorganizar a equação para ter todas as ocorrências de v multiplicando dv num lado e todas as ocorrências de t multiplicando dt no outro lado, assim podemos integrar ambos os lados.
  • Escrevemos
\frac{1}{v}\,dv = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{1}{v}\,dv = \int -k\,dt.
  • As integrais são básicas: \int \dfrac{1}{v}\,dv = \ln|v| + C_1 e \int -k\,dt = -kt + C_2. Reunindo constantes obtém-se
\ln|v| = -kt + C,
onde C é uma constante real (absorveu C_1-C_2).
  • Exponenciando ambos os lados para tirar o logaritmo:
|v| = e^{C} e^{-kt}.
Como aqui a velocidade inicial é positiva e a solução física que buscamos também será positiva, podemos eliminar o valor absoluto e escrever
v(t) = C' e^{-kt},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva a determinar pela condição inicial.
  • Aplicando \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_0:
v(0) = C' e^{-k\cdot 0} = C' = \mathrm{v}_0.
Logo a solução geral com a condição inicial é
v(t) = \mathrm{v}_0 e^{-kt}.
  • Substituindo os valores numéricos \mathrm{v}_0=10 e k=0,2:
v(t) = 10\,e^{-0,2t}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 3

Determinar \mathrm{x}(t) integrando a velocidade (posição é antiderivada da velocidade):
  • Por definição, v(t) = \dfrac{dx}{dt}. Então
\frac{dx}{dt} = \mathrm{v}_0 e^{-kt}.
  • Separamos e integramos no intervalo de tempo desde 0 até t, usando a condição \mathrm{x}(0)=0:
x(t)-x(0) = \int_{0}^{t} \mathrm{v}_0 e^{-ks}\,ds.
  • Calculamos a integral (mostrando passo a passo): a primitiva de e^{-ks} é -\dfrac{1}{k}e^{-ks}. Assim
\int_{0}^{t} \mathrm{v}_0 e^{-ks}\,ds = \mathrm{v}_0\left[-\frac{1}{k}e^{-ks}\right]_{s=0}^{s=t} = \mathrm{v}_0\left(-\frac{1}{k}e^{-kt} + \frac{1}{k}e^{0}\right).
  • Simplificando:
x(t)-x(0) = \frac{\mathrm{v}_0}{k}\left(1 - e^{-kt}\right).
  • Com \mathrm{x}(0)=0 obtemos a expressão final para a posição:
x(t) = \frac{\mathrm{v}_0}{k}\left(1 - e^{-kt}\right).
  • Substituindo valores numéricos \mathrm{v}_0=10 e k=0,2 (note que \dfrac{10}{0,2}=50):
x(t) = 50\left(1 - e^{-0,2t}\right)\quad(\mathrm{m}).

Passo 4

Calcular a distância total percorrida (isto é, o deslocamento quando t\to\infty; como v(t)\ge 0 não há mudança de sinal, deslocamento = distância percorrida):
  • Podemos usar o limite da posição quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} x(t) = \lim_{t\to\infty} \frac{\mathrm{v}_0}{k}\left(1 - e^{-kt}\right).
  • Como \lim_{t\to\infty} e^{-kt}=0 (para k>0), obtemos
\text{distância total} = \frac{\mathrm{v}_0}{k}.â
  • Substituindo numericamente:
\text{distância total} = \frac{10}{0,2} = 50\\ \mathrm{m}.â
  • Alternativa pelo cálculo direto: \displaystyle \int_{0}^{\infty} v(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} 10 e^{-0,2t}\,dt = 10\cdot\frac{1}{0,2}=50\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretar a tendência de \mathrm{v}(t) e dar intuição física e quantitativa:
  • A expressão \displaystyle v(t)=\mathrm{v}_0 e^{-kt} é um decaimento exponencial. Isso significa que a velocidade:
    • é sempre positiva (se \mathrm{v}_0>0);
    • diminui continuamente e de maneira monótona com o tempo (não oscila nem muda de sinal);
    • tende a zero quando t\to\infty, ou seja, o corpo se aproxima de repouso de forma assintótica, sem atingir exatamente o repouso em tempo finito.
  • Parâmetros importantes para intuição:
    • Constante de tempo \tau = \dfrac{1}{k}. Aqui \tau = \dfrac{1}{0,2}=5\\ \mathrm{s}. Interpretação: depois de um tempo t=\tau a velocidade caiu para cerca de e^{-1}\approx 0,367 vezes o valor inicial. Numericamente v(5)\approx 10\cdot e^{-1}\approx 3,68\\ \mathrm{m/s}.
    • Tempo de meia-vida (redução à metade): t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}. Aqui t_{1/2}\approx \dfrac{0,693}{0,2}\approx 3,465\\ \mathrm{s}. Ou seja, em cerca de 3{,}47\\ \mathrm{s} a velocidade será metade da inicial.
  • Intuição física: a força de arrasto linear (proporcional a v) causa uma desaceleração proporcional à velocidade; isso produz o decaimento exponencial e garante que a distância total percorrida seja finita ( = \mathrm{v}_0/k), porque a velocidade cai rápido o suficiente para que a integral no infinito convirja.
  • Dicas para prova: reconhecer a forma \dfrac{dv}{dt}=-kv e aplicar separação de variáveis é o caminho mais rápido; integrar para obter x(t) e tomar o limite t\to\infty dá a distância total. Sempre calcule a constante de tempo \tau para ter uma interpretação rápida do ritmo de decaimento.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=10\,e^{-0,2t}\\ \mathrm{m/s} \quad e \quad \displaystyle x(t)=50\left(1-e^{-0,2t}\right)\\ \mathrm{m}.
b) Distância total =\;50\\ \mathrm{m}.
c) \mathrm{v}(t) decai exponencialmente para zero (monotonicamente); constante de tempo \tau=5\\ \mathrm{s} (em t=\tau a velocidade é \approx 36{,}8\% de \mathrm{v}_0); o corpo se aproxima assintoticamente do repouso, sem atingi-lo em tempo finito.

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