Resistência viscosa linear
Um corpo se move em ambiente viscoso, com dv/dt = -kv,
.
Determinar:
a)
e
.
b) Distância total.
c) Interprete a tendência de
.
Determinar:
a)
b) Distância total.
c) Interprete a tendência de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial do movimento com resistência viscosa linear e pede três coisas. Dados fornecidos e pedidos:
- Equação:
. - Condição inicial de velocidade:
- Constante de arrasto:
- Pedidos:
a) Determinare .
b) Determinar a distância total percorrida.
c) Interpretar a tendência de(ou seja, o comportamento da velocidade com o tempo). - Observação necessária: o enunciado não informou a posição inicial
. Para obter uma expressão única para vou assumir (posição inicial zero), que é a escolha mais comum. Se a posição inicial for outra, basta somar essa constante ao resultado final.
Passo 2
Resolver
por separação de variáveis (método simples e padrão para equações do tipo
) e explicar cada etapa:
- A ideia de separação é reorganizar a equação para ter todas as ocorrências de
multiplicando num lado e todas as ocorrências de multiplicando no outro lado, assim podemos integrar ambos os lados. - Escrevemos
- Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
- As integrais são básicas:
e . Reunindo constantes obtém-se
onde
é uma constante real (absorveu
).
- Exponenciando ambos os lados para tirar o logaritmo:
Como aqui a velocidade inicial é positiva e a solução física que buscamos também será positiva, podemos eliminar o valor absoluto e escrever
onde
é uma constante positiva a determinar pela condição inicial.
- Aplicando
:
Logo a solução geral com a condição inicial é
- Substituindo os valores numéricos
e :
Passo 3
Determinar
integrando a velocidade (posição é antiderivada da velocidade):
- Por definição,
. Então
- Separamos e integramos no intervalo de tempo desde
até , usando a condição :
- Calculamos a integral (mostrando passo a passo): a primitiva de
é . Assim
- Simplificando:
- Com
obtemos a expressão final para a posição:
- Substituindo valores numéricos
e (note que ):
Passo 4
Calcular a distância total percorrida (isto é, o deslocamento quando
; como
não há mudança de sinal, deslocamento = distância percorrida):
- Podemos usar o limite da posição quando
:
- Como
(para ), obtemos
- Substituindo numericamente:
- Alternativa pelo cálculo direto:
Passo 5
Interpretar a tendência de
e dar intuição física e quantitativa:
- A expressão
é um decaimento exponencial. Isso significa que a velocidade: - é sempre positiva (se
); - diminui continuamente e de maneira monótona com o tempo (não oscila nem muda de sinal);
- tende a zero quando
, ou seja, o corpo se aproxima de repouso de forma assintótica, sem atingir exatamente o repouso em tempo finito.
- é sempre positiva (se
- Parâmetros importantes para intuição:
- Constante de tempo
. Aqui . Interpretação: depois de um tempo a velocidade caiu para cerca de vezes o valor inicial. Numericamente - Tempo de meia-vida (redução à metade):
. Aqui . Ou seja, em cerca de a velocidade será metade da inicial.
- Constante de tempo
- Intuição física: a força de arrasto linear (proporcional a
) causa uma desaceleração proporcional à velocidade; isso produz o decaimento exponencial e garante que a distância total percorrida seja finita ( ), porque a velocidade cai rápido o suficiente para que a integral no infinito convirja. - Dicas para prova: reconhecer a forma
e aplicar separação de variáveis é o caminho mais rápido; integrar para obter e tomar o limite dá a distância total. Sempre calcule a constante de tempo para ter uma interpretação rápida do ritmo de decaimento.
Resposta
a)
\quad e \quad
b) Distância total
c) decai exponencialmente para zero (monotonicamente); constante de tempo
(em
a velocidade é
de
); o corpo se aproxima assintoticamente do repouso, sem atingi-lo em tempo finito.
b) Distância total
c)