Velocidade senoidal v(t)=5+2 \operatorname{sen}(2 \pi t / 10).
a) Deslocamento em 10 s .
b) Valor médio de \mathrm{v}(\mathrm{t}).
c) Interpretação física.
(a) o deslocamento em 10 s (isto é, a variação de posição entre t=0 e t=10);
(b) o valor médio de v(t) no intervalo de 0 a 10 s;
(c) uma interpretação física do resultado (o que significa esse perfil de velocidade).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
A função velocidade é composta por uma parte constante 5 e uma parte oscilante 2\operatorname{sen}(\cdot).
O argumento do seno é \frac{2\pi t}{10}. Não foram dadas unidades explícitas para v, então vamos tratar genericamente: velocidade em unidades de comprimento por segundo e tempo em segundos. A resposta final para deslocamento terá unidades de comprimento.
Nenhuma outra informação (como posição inicial) é necessária para encontrar o deslocamento entre t=0 e t=10 porque o deslocamento é a integral da velocidade nesse intervalo.
Passo 2
Lembrando a definição-chave: deslocamento entre t=a e t=b é a integral da velocidade nesse intervalo:
\Delta s=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Aqui queremos \Delta s=\int_{0}^{10} v(t)\,dt. Vou escrever explicitamente a integral que precisamos calcular:
Expliquei isso porque é uma aplicação básica da regra da cadeia invertida: derivada de \cos(\omega t) é -\omega\operatorname{sen}(\omega t), daí o fator 1/\omega ao integrar.
Passo 5
Aplicando a primitiva ao nosso caso com o fator 2:
Ou seja, a contribuição da parte oscilante para a integral em um intervalo de duração 10 s (que é exatamente um período, como vamos ver) é zero.
Passo 7
Conclusão do cálculo do deslocamento: somando as duas partes
\Delta s=50+0=50.
Portanto o deslocamento em 10 s é 50 (unidades de comprimento, por exemplo metros se v estivesse em m/s).
Passo 8
Agora o valor médio da função v(t) no intervalo [0,10] é dado por
\bar{v}=\frac{1}{10}\int_{0}^{10}v(t)\,dt.
Já calculamos a integral (é 50), então
\bar{v}=\frac{1}{10}\cdot 50=5.
Outra forma rápida de ver isso: o termo oscilante 2\operatorname{sen}(\omega t) tem média zero em um número inteiro de períodos. Vamos checar o período do seno: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi/5}=10. Portanto o intervalo de 0 a 10 s contém exatamente um período, e a média do seno em um período é zero, restando apenas o termo constante 5.
Passo 9
Interpretação física (explicada didaticamente e de forma prática):
A velocidade é composta por uma parte constante \,5 e uma parte oscilante \,2\operatorname{sen}(\cdot).
O termo constante \,5 é a velocidade média: se a parte oscilante não existisse, o móvel se deslocaria uniformemente a 5 (unidades de comprimento por segundo).
O termo oscilante de amplitude 2 faz a velocidade oscilar entre 5-2=3 e 5+2=7. Ou seja, o objeto acelera e desacelera periodicamente, mas a oscilação tem média zero ao longo de um período.
Como resultado, em 10 s (um período completo) a contribuição líquida da oscilação ao deslocamento é nula; portanto o deslocamento total é simplesmente a velocidade média vezes o tempo: 50=5\cdot 10.
Em palavras amigáveis: o objeto “oscila” sua velocidade ao redor de 5; apesar dessas idas e vindas, depois de um período completo o efeito oscilante não deixa deslocamento extra — o movimento médio é como se tivesse ido a 5 (unidades/s) continuamente.
Resposta
a) \Delta s=50.\n
b) \bar{v}=5.\n
c) A velocidade tem uma componente constante 5 (velocidade média) e uma componente oscilante de amplitude 2 com período 10 s; a oscilação faz a velocidade variar entre 3 e 7 mas tem média zero em um período, por isso em 10 s o deslocamento é 5\cdot 10=50.