Velocidade senoidal
v(t)=5+2 \operatorname{sen}(2 \pi t / 10).
a) Deslocamento em 10 s .
b) Valor médio de \mathrm{v}(\mathrm{t}).
c) Interpretação física.

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
v(t)=5+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{10}\right)
e pede três coisas:
  • (a) o deslocamento em 10 s (isto é, a variação de posição entre t=0 e t=10);
  • (b) o valor médio de v(t) no intervalo de 0 a 10 s;
  • (c) uma interpretação física do resultado (o que significa esse perfil de velocidade).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A função velocidade é composta por uma parte constante 5 e uma parte oscilante 2\operatorname{sen}(\cdot).
  • O argumento do seno é \frac{2\pi t}{10}. Não foram dadas unidades explícitas para v, então vamos tratar genericamente: velocidade em unidades de comprimento por segundo e tempo em segundos. A resposta final para deslocamento terá unidades de comprimento.
Nenhuma outra informação (como posição inicial) é necessária para encontrar o deslocamento entre t=0 e t=10 porque o deslocamento é a integral da velocidade nesse intervalo.

Passo 2

Lembrando a definição-chave: deslocamento entre t=a e t=b é a integral da velocidade nesse intervalo:
\Delta s=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Aqui queremos \Delta s=\int_{0}^{10} v(t)\,dt. Vou escrever explicitamente a integral que precisamos calcular:
\Delta s=\int_{0}^{10}\left(5+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{10}\right)\right)dt.
Agora vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
\Delta s=\int_{0}^{10}5\,dt+\int_{0}^{10}2\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{10}\right)dt.
A primeira integral é simples: \int_{0}^{10}5\,dt=5t\big|_{0}^{10}=5\cdot 10-5\cdot 0=50.
Vou agora focar na segunda integral oscilante.

Passo 4

Para integrar a parte oscilante, é útil definir a frequência angular (constante multiplicativa do tempo):
\omega=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}.
Assim a parte oscilante fica 2\operatorname{sen}(\omega t) com \omega=\pi/5. A integral que precisamos é
I=\int_{0}^{10}2\operatorname{sen}(\omega t)\,dt.
Conhecimento útil: a primitiva de \operatorname{sen}(\omega t) é -\frac{1}{\omega}\cos(\omega t). Em geral, para \omega\neq 0,
\int \operatorname{sen}(\omega t)\,dt=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)+C.
Expliquei isso porque é uma aplicação básica da regra da cadeia invertida: derivada de \cos(\omega t) é -\omega\operatorname{sen}(\omega t), daí o fator 1/\omega ao integrar.

Passo 5

Aplicando a primitiva ao nosso caso com o fator 2:
I=2\left(-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\right)\Big|_{0}^{10}=-\frac{2}{\omega}\left(\cos(\omega\cdot 10)-\cos(\omega\cdot 0)\right).
Substitui agora \omega=\pi/5:
\omega\cdot 10=\frac{\pi}{5}\cdot 10=2\pi.
Portanto \cos(\omega\cdot 10)=\cos(2\pi)=1 e \cos(\omega\cdot 0)=\cos(0)=1.

Passo 6

Com essas avaliações:
I=-\frac{2}{\omega}\left(1-1\right)=-\frac{2}{\omega}\cdot 0=0.
Ou seja, a contribuição da parte oscilante para a integral em um intervalo de duração 10 s (que é exatamente um período, como vamos ver) é zero.

Passo 7

Conclusão do cálculo do deslocamento: somando as duas partes
\Delta s=50+0=50.
Portanto o deslocamento em 10 s é 50 (unidades de comprimento, por exemplo metros se v estivesse em m/s).

Passo 8

Agora o valor médio da função v(t) no intervalo [0,10] é dado por
\bar{v}=\frac{1}{10}\int_{0}^{10}v(t)\,dt.
Já calculamos a integral (é 50), então
\bar{v}=\frac{1}{10}\cdot 50=5.
Outra forma rápida de ver isso: o termo oscilante 2\operatorname{sen}(\omega t) tem média zero em um número inteiro de períodos. Vamos checar o período do seno: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi/5}=10. Portanto o intervalo de 0 a 10 s contém exatamente um período, e a média do seno em um período é zero, restando apenas o termo constante 5.

Passo 9

Interpretação física (explicada didaticamente e de forma prática):
  • A velocidade é composta por uma parte constante \,5 e uma parte oscilante \,2\operatorname{sen}(\cdot).
  • O termo constante \,5 é a velocidade média: se a parte oscilante não existisse, o móvel se deslocaria uniformemente a 5 (unidades de comprimento por segundo).
  • O termo oscilante de amplitude 2 faz a velocidade oscilar entre 5-2=3 e 5+2=7. Ou seja, o objeto acelera e desacelera periodicamente, mas a oscilação tem média zero ao longo de um período.
  • Como resultado, em 10 s (um período completo) a contribuição líquida da oscilação ao deslocamento é nula; portanto o deslocamento total é simplesmente a velocidade média vezes o tempo: 50=5\cdot 10.
  • Em palavras amigáveis: o objeto “oscila” sua velocidade ao redor de 5; apesar dessas idas e vindas, depois de um período completo o efeito oscilante não deixa deslocamento extra — o movimento médio é como se tivesse ido a 5 (unidades/s) continuamente.

Resposta

a) \Delta s=50.\n
b) \bar{v}=5.\n
c) A velocidade tem uma componente constante 5 (velocidade média) e uma componente oscilante de amplitude 2 com período 10 s; a oscilação faz a velocidade variar entre 3 e 7 mas tem média zero em um período, por isso em 10 s o deslocamento é 5\cdot 10=50.

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