Movimento por partes
Um corpo se move com a seguinte função horária dividida por partes
Determinar:
a) Velocidade em
.
b) Velocidade em
.
c) Gráficos
e o deslocamento nestes 10 segundos
Determinar:
a) Velocidade em
b) Velocidade em
c) Gráficos
Passo 1
O enunciado dá a posição
definida por partes:
O que pede:
a) a velocidade em ;
b) a velocidade em ;
c) os gráficos de e
e o deslocamento durante os
segundos (presumo que seja de
até
).
a) a velocidade em
b) a velocidade em
c) os gráficos de
Informações relevantes dadas: a função posição é contínua nas duas partes e as fórmulas para cada intervalo de tempo estão explícitas. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Conceito-chave: velocidade instantânea e derivada.
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
A velocidade instantânea
Explicação didática: derivar uma função significa encontrar a taxa de variação instantânea. Se a posição for dada por uma expressão simples, derivamos termo a termo. Se a posição for definida por partes, derivamos cada trecho separadamente e verificamos os limites laterais no ponto onde as partes se juntam. Para que exista a derivada em um ponto, as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais. Se forem diferentes, a derivada (velocidade instantânea) no ponto não existe, mas ainda podemos falar nas velocidades à esquerda e à direita (velocidades one-sided), que têm interpretação física como velocidade imediatamente antes e imediatamente depois de um instante.
Passo 3
Derivando o trecho
.
A função é . Derivando:
A função é
Portanto, para
(e usando a expressão válida em
pelo trecho), a velocidade é
Comentário prático: isso significa velocidade constante de
(ou unidades compatíveis) antes de
.
Passo 4
Derivando o trecho
.
A função é . Derivamos usando a regra da cadeia:
. Multiplicando pelo coeficiente:
A função é
Assim, para
,
Observação: essa é uma função que cresce linearmente com o tempo a partir de
; em
pela direita ela vale zero.
Passo 5
Avaliação das velocidades nos pontos críticos e diferenciabilidade em
.
Velocidade pela esquerda em :
Velocidade pela esquerda em
Velocidade pela direita em
(usar
e fazer
):
Como
, a derivada de
em
não existe — isto é, a velocidade instantânea no sentido rigoroso de derivada não está definida em
. Interpretação física e prática: imediatamente antes de
o corpo se movia com velocidade
; imediatamente depois de
a velocidade é
. Alguns livros ou professores podem, se usarem a fórmula do trecho que inclui
(o trecho
), citar
, mas matematicamente a derivada no ponto não existe porque as duas tendências são diferentes.
Passo 6
Velocidade em
.
Como , usamos
. Substituindo
:
Como
Portanto
.
Passo 7
Deslocamento durante os
segundos (de
até
) usando a posição final menos inicial.
Primeiro calcule usando o trecho
:
Primeiro calcule
Depois calcule
usando o trecho
:
Logo o deslocamento entre
e
é
Passo 8
Verificação do deslocamento calculando a área sob a curva
(método integral/geométrico).
A ideia: deslocamento entre e
é a integral de
de
até
, e geometricamente corresponde à área algébrica sob
.
A ideia: deslocamento entre
- De
a , constante. A área é um retângulo de base e altura :
- De
a , é uma linha que começa em (em ) e chega em (em ). A área é um triângulo com base e altura :
Somando:
que confirma o resultado do Passo 7. Bom sinal — ambas as abordagens batem.
Passo 9
Como esboçar os gráficos e interpretação física (instruções passo a passo para desenhar à mão):
Gráfico de
:
- Para
: é uma reta com inclinação . Pontos chave: e . Trace uma linha reta passando por esses pontos. - Para
: é uma parábola com vértice em no ponto e que cresce para cima (coeficiente positivo). A forma é . Em temos . No ponto a tangente pela direita é horizontal (derivada pela direita), mas pela esquerda a inclinação é : isso cria uma esquina no gráfico em (função contínua mas não diferenciável ali). Ao desenhar, marque o ponto e faça a reta chegando com inclinação e a parábola a partir desse ponto com tangente horizontal inicial.
Gráfico de
:
- Para
: desenhe uma linha horizontal . Marque o ponto sólido em com valor (porque a expressão para dá em ). - Para
: desenhe uma linha que começa em em e sobe linearmente até . Em haverá um salto: à esquerda o valor (ponto sólido), à direita o valor imediato (ponto aberto em se quiser indicar que a expressão para não inclui ; contudo, como desenhamos a peça com ponto sólido em , mostre o ponto em como aberto para indicar descontinuidade). - O gráfico mostra claramente a descontinuidade de velocidade em
(salto de para ), e depois aumento linear.
Dicas de escala: eixo
de
a
; eixo
de
a
(marcar
e
); eixo
de
a
(marcar
).
Resposta
a) A derivada em
e o deslocamento de
a
é
.]