Movimento por partes
Um corpo se move com a seguinte função horária dividida por partes
x(t)=3 t, t \leq 4 ;
x(t)=12+2(t-4)^{2}, t>4
Determinar:
a) Velocidade em t=4 \mathrm{~s}.
b) Velocidade em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.
c) Gráficos x(t), v(t) e o deslocamento nestes 10 segundos

Passo 1

O enunciado dá a posição x(t) definida por partes:
x(t)=3t,\quad t\leq 4,
x(t)=12+2(t-4)^{2},\quad t>4.
O que pede:
a) a velocidade em t=4\\ \mathrm{s};
b) a velocidade em t=10\\ \mathrm{s};
c) os gráficos de x(t) e v(t) e o deslocamento durante os 10 segundos (presumo que seja de t=0 até t=10).
Informações relevantes dadas: a função posição é contínua nas duas partes e as fórmulas para cada intervalo de tempo estão explícitas. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Conceito-chave: velocidade instantânea e derivada.
A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explicação didática: derivar uma função significa encontrar a taxa de variação instantânea. Se a posição for dada por uma expressão simples, derivamos termo a termo. Se a posição for definida por partes, derivamos cada trecho separadamente e verificamos os limites laterais no ponto onde as partes se juntam. Para que exista a derivada em um ponto, as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais. Se forem diferentes, a derivada (velocidade instantânea) no ponto não existe, mas ainda podemos falar nas velocidades à esquerda e à direita (velocidades one-sided), que têm interpretação física como velocidade imediatamente antes e imediatamente depois de um instante.

Passo 3

Derivando o trecho t\leq 4.
A função é x(t)=3t. Derivando:
\frac{d}{dt}[3t]=3.
Portanto, para t<4 (e usando a expressão válida em t=4 pelo trecho), a velocidade é
v(t)=3\quad\text{(para \(t\leq 4\)).}
Comentário prático: isso significa velocidade constante de 3\\ \mathrm{m/s} (ou unidades compatíveis) antes de t=4.

Passo 4

Derivando o trecho t>4.
A função é x(t)=12+2(t-4)^{2}. Derivamos usando a regra da cadeia: \frac{d}{dt}[(t-4)^{2}]=2(t-4). Multiplicando pelo coeficiente:
\frac{d}{dt}\big[2(t-4)^{2}\big]=2\cdot 2(t-4)=4(t-4).
Assim, para t>4,
v(t)=4(t-4)\quad\text{(para \(t>4\)).}
Observação: essa é uma função que cresce linearmente com o tempo a partir de t=4; em t=4 pela direita ela vale zero.

Passo 5

Avaliação das velocidades nos pontos críticos e diferenciabilidade em t=4.
Velocidade pela esquerda em t=4:
v(4^-)=3.
Velocidade pela direita em t=4 (usar v(t)=4(t-4) e fazer t\to4^+):
v(4^+)=4(4-4)=0.
Como v(4^-)\neq v(4^+), a derivada de x(t) em t=4 não existe — isto é, a velocidade instantânea no sentido rigoroso de derivada não está definida em t=4. Interpretação física e prática: imediatamente antes de 4\\ \mathrm{s} o corpo se movia com velocidade 3\\ \mathrm{m/s}; imediatamente depois de 4\\ \mathrm{s} a velocidade é 0\\ \mathrm{m/s}. Alguns livros ou professores podem, se usarem a fórmula do trecho que inclui t=4 (o trecho t\le4), citar v(4)=3, mas matematicamente a derivada no ponto não existe porque as duas tendências são diferentes.

Passo 6

Velocidade em t=10\\ \mathrm{s}.
Como 10>4, usamos v(t)=4(t-4). Substituindo t=10:
v(10)=4(10-4)=4\cdot 6=24.
Portanto v(10)=24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Deslocamento durante os 10 segundos (de t=0 até t=10) usando a posição final menos inicial.
Primeiro calcule x(0) usando o trecho t\le4:
x(0)=3\cdot 0=0.
Depois calcule x(10) usando o trecho t>4:
x(10)=12+2(10-4)^{2}=12+2\cdot 6^{2}=12+2\cdot 36=12+72=84.
Logo o deslocamento entre t=0 e t=10 é
\Delta x = x(10)-x(0)=84-0=84.

Passo 8

Verificação do deslocamento calculando a área sob a curva v(t) (método integral/geométrico).
A ideia: deslocamento entre t=a e t=b é a integral de v(t) de a até b, e geometricamente corresponde à área algébrica sob v(t).
  1. De t=0 a t=4, v(t)=3 constante. A área é um retângulo de base 4 e altura 3:
\text{área}_1 = 3\cdot 4 = 12.á
  1. De t=4 a t=10, v(t)=4(t-4) é uma linha que começa em 0 (em t=4) e chega em 24 (em t=10). A área é um triângulo com base 6 e altura 24:
\text{área}_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 24 = 72.á
Somando:
\Delta x = \text{área}_1+\text{área}_2 = 12+72 = 84,áá
que confirma o resultado do Passo 7. Bom sinal — ambas as abordagens batem.

Passo 9

Como esboçar os gráficos e interpretação física (instruções passo a passo para desenhar à mão):
Gráfico de x(t):
  • Para 0\le t\le 4: é uma reta com inclinação 3. Pontos chave: (0,0) e (4,12). Trace uma linha reta passando por esses pontos.
  • Para t>4: é uma parábola com vértice em t=4 no ponto (4,12) e que cresce para cima (coeficiente positivo). A forma é x(t)=12+2(t-4)^{2}. Em t=10 temos (10,84). No ponto t=4 a tangente pela direita é horizontal (derivada 0 pela direita), mas pela esquerda a inclinação é 3: isso cria uma esquina no gráfico em t=4 (função contínua mas não diferenciável ali). Ao desenhar, marque o ponto (4,12) e faça a reta chegando com inclinação 3 e a parábola a partir desse ponto com tangente horizontal inicial.
Gráfico de v(t):
  • Para t\le 4: desenhe uma linha horizontal v(t)=3. Marque o ponto sólido em t=4 com valor 3 (porque a expressão para t\le4 3 em 4).
  • Para t>4: desenhe uma linha que começa em 0 em t=4 e sobe linearmente até v(10)=24. Em t=4 haverá um salto: à esquerda o valor 3 (ponto sólido), à direita o valor imediato 0 (ponto aberto em v(t) se quiser indicar que a expressão para t>4 não inclui t=4; contudo, como desenhamos a peça t\le4 com ponto sólido em 3, mostre o ponto em 0 como aberto para indicar descontinuidade).
  • O gráfico mostra claramente a descontinuidade de velocidade em t=4 (salto de 3 para 0), e depois aumento linear.
Dicas de escala: eixo t de 0 a 10; eixo x de 0 a 90 (marcar 12 e 84); eixo v de 0 a 25 (marcar 0,3,24).

Resposta

a) A derivada em t=4\) não existe; \(v(4^-)=3\\ \mathrm{m/s}\) e \(v(4^+)=0\\ \mathrm{m/s}\). b) \(v(10)=24\\ \mathrm{m/s}\). c) \(x(t)=\begin{cases}3t,& t\le 4,\\[4pt]12+2(t-4)^{2},& t>4,\end{cases}\quad v(t)=\begin{cases}3,& t\le 4,\\[4pt]4(t-4),& t>4,\end{cases} e o deslocamento de t=0 a t=10 é \Delta x=84.]

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