Um resistor de 4,00 M Omega e um capacitor de 4,00 mu F são ligados em série com uma fonte ideal de força eletromotriz varepsilon=6,00 volts. Depois de transcorrido 1,50 s, determine (a) a taxa de aumento da carga do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos.
Enunciado em poucas palavras: temos um resistor de R = 4,00 MΩ em série com um capacitor C = 4,00 μF e ligado a uma fonte ideal de ε = 6,00 V. Depois de t = 1,50 s, a gente quer saber a “taxa de aumento da carga do capacitor”, ou seja, dQ/dt nesse instante.
Conteúdo da matéria: circuito RC em regime de carga (transiente).
O que precisamos:
  • Montar a equação do circuito (Lei de Kirchhoff)
  • Resolver a equação diferencial para Q(t) ou diretamente para i(t) = dQ/dt
  • Avaliar i(1,50 s)

Passo 2

Teoria básica do circuito RC em carga:
Quando fechamos o circuito, a corrente i(t) começa alta (ε/R) e vai decaindo exponencialmente.
Na prática a gente usa:
  1. Lei de Kirchhoff: ε – iR – q/C = 0
  2. Como i = dQ/dt, isso vira uma equação diferencial:
    R·dQ/dt + Q/C = ε

Passo 3

Resolver a equação diferencial (esquema padrão):
  • A solução geral para Q(t) é
    Q(t) = C·ε·(1 – e^{-t/(RC)})
  • A corrente é i(t) = dQ/dt, então derivando:
    i(t) = d/dt [Cε(1 – e^{-t/(RC)})]
    = Cε · (1/RC) · e^{-t/(RC)}
    = (ε/R) · e^{-t/(RC)}

Passo 4

Agora é só colocar números:
  • Primeiro o tempo característico τ = R·C = (4,00×10^6 Ω)·(4,00×10^{-6} F) = 16,0 s
  • A amplitude inicial da corrente é ε/R = 6,00 V / (4,00×10^6 Ω) = 1,50×10^{-6} A
  • Logo, para t = 1,50 s:
    i(1,50) = (1,50×10^{-6} A) · e^{-1,50/16,0}
    = 1,50×10^{-6} A · e^{-0,09375}
    ≃ 1,50×10^{-6} A · 0,9105
    ≃ 1,37×10^{-6} A

Resposta

A taxa de aumento da carga do capacitor em t = 1,50 s é
dQdtg|t=1,50,s = i(1,50, s) approx 1,37times10^-6,A (approx1,37,mu A)

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