Um resistor de
e um capacitor de
são ligados em série com uma fonte ideal de força eletromotriz
volts. Depois de transcorrido
, determine (a) a taxa de aumento da carga do capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos.
Enunciado em poucas palavras: temos um resistor de R = 4,00 MΩ em série com um capacitor C = 4,00 μF e ligado a uma fonte ideal de ε = 6,00 V. Depois de t = 1,50 s, a gente quer saber a “taxa de aumento da carga do capacitor”, ou seja, dQ/dt nesse instante.
Conteúdo da matéria: circuito RC em regime de carga (transiente).
O que precisamos:
Enunciado em poucas palavras: temos um resistor de R = 4,00 MΩ em série com um capacitor C = 4,00 μF e ligado a uma fonte ideal de ε = 6,00 V. Depois de t = 1,50 s, a gente quer saber a “taxa de aumento da carga do capacitor”, ou seja, dQ/dt nesse instante.
Conteúdo da matéria: circuito RC em regime de carga (transiente).
O que precisamos:
- Montar a equação do circuito (Lei de Kirchhoff)
- Resolver a equação diferencial para Q(t) ou diretamente para i(t) = dQ/dt
- Avaliar i(1,50 s)
Passo 2
Teoria básica do circuito RC em carga:
Quando fechamos o circuito, a corrente i(t) começa alta (ε/R) e vai decaindo exponencialmente.
Na prática a gente usa:
Quando fechamos o circuito, a corrente i(t) começa alta (ε/R) e vai decaindo exponencialmente.
Na prática a gente usa:
- Lei de Kirchhoff: ε – iR – q/C = 0
- Como i = dQ/dt, isso vira uma equação diferencial:
R·dQ/dt + Q/C = ε
Passo 3
Resolver a equação diferencial (esquema padrão):
- A solução geral para Q(t) é
Q(t) = C·ε·(1 – e^{-t/(RC)}) - A corrente é i(t) = dQ/dt, então derivando:
i(t) = d/dt [Cε(1 – e^{-t/(RC)})]
= Cε · (1/RC) · e^{-t/(RC)}
= (ε/R) · e^{-t/(RC)}
Passo 4
Agora é só colocar números:
- Primeiro o tempo característico τ = R·C = (4,00×10^6 Ω)·(4,00×10^{-6} F) = 16,0 s
- A amplitude inicial da corrente é ε/R = 6,00 V / (4,00×10^6 Ω) = 1,50×10^{-6} A
- Logo, para t = 1,50 s:
i(1,50) = (1,50×10^{-6} A) · e^{-1,50/16,0}
= 1,50×10^{-6} A · e^{-0,09375}
≃ 1,50×10^{-6} A · 0,9105
≃ 1,37×10^{-6} A
Resposta
A taxa de aumento da carga do capacitor em t = 1,50 s é