• Um resistor de 100 \Omega está em série com um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F}. Qual a impedância total do circuito (Z) para uma frequência de 150 Hz ?
  • Resposta: Z=(100-j 106.1) \Omega, ou 145.8 \angle-46.7 \circ \Omega

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a impedância total do circuito:
  • Há um resistor de 100\\ \Omega em série com um capacitor de 10\\ \mu\text{F}.
  • A frequência da fonte é 150\\ \text{Hz}.
  • Pergunta: qual a impedância total Z do circuito nessa frequência?
    Informações relevantes listadas: R=100\\ \Omega, C=10\\ \mu\text{F} (ou seja 10\cdot10^{-6}\\ \text{F}), f=150\\ \text{Hz}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Impedância de um resistor: ela é puramente real e igual à resistência. Ou seja, para o resistor temos \displaystyle Z_R = R. Aqui R é medido em \Omega.
  • Impedância de um capacitor: ela é puramente imaginária (reatância capacitiva) e dada por
Z_C = \frac{1}{j\omega C},
onde \omega é a pulsação (ou frequência angular), C é a capacitância em farads e j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Explicando cada variável: \omega = 2\pi f com f em hertz; C em farad; Z_C em ohms.
  • Em série, impedâncias se somam como números complexos: \displaystyle Z = Z_R + Z_C.
  • Para transformar uma impedância rectangular \displaystyle Z = a + jb em forma polar (magnitude e ângulo): a magnitude é \displaystyle |Z| = \sqrt{a^2 + b^2} e o ângulo é \displaystyle \varphi = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right). Aqui a é a parte real e b a parte imaginária.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 150 = 300\pi \approx 942,478\\ \text{rad/s}.
Explanação: multiplicamos 2\pi por f para obter a velocidade angular; é uma etapa direta e necessária para usar a fórmula da impedância do capacitor.

Passo 4

Calcular a reatância capacitiva (módulo de Z_C) e o Z_C complexo:
  • Primeiro calcule \omega C:
\omega C = 942,478 \cdot 10\cdot10^{-6} = 942,478 \cdot 0,00001 = 0,00942478.
  • Agora a magnitude da reatância capacitiva é \displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C}:
X_C = \frac{1}{0,00942478} \approx 106,103\\ \Omega.
  • A impedância do capacitor em forma complexa é
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\,X_C = -j\,106,103\\ \Omega.
Explicação: o sinal negativo aparece porque a corrente no capacitor adianta a tensão; na representação complexa isso vira uma componente imaginária negativa.

Passo 5

Somar as impedâncias em série (resistor + capacitor):
Z = Z_R + Z_C = R + (-jX_C) = 100 - j\,106,103\\ \Omega.
Interpretação: a parte real é 100 (resistor) e a parte imaginária é -106,103 (capacitor).

Passo 6

Converter para forma polar (magnitude e ângulo). As fórmulas (já citadas) são:
|Z| = \sqrt{\text{Re}(Z)^2 + \text{Im}(Z)^2}, \qquad \varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right).
Aqui \text{Re}(Z)=100 e \text{Im}(Z)=-106,103. Observação sobre o ângulo: como a parte imaginária é negativa e a real positiva, o ângulo ficará no quarto quadrante (valor negativo).

Passo 7

Calcular numericamente a magnitude e o ângulo passo a passo:
  • Quadrados:
100^2 = 10000, \qquad (106,103)^2 \approx 11257,999.
  • Soma e raiz:
|Z| = \sqrt{10000 + 11257,999} = \sqrt{21257,999} \approx 145,806\\ \Omega.
  • Ângulo:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{-106,103}{100}\right) = \arctan(-1,06103) \approx -46,695^\circ.
Arredondamentos práticos para a escrita usual: X_C\approx 106,1\\ \Omega, |Z|\approx 145,8\\ \Omega e \varphi\approx -46,7^\circ.

Passo 8

Apresentar as duas formas equivalentes da impedância (retangular e polar), usando os valores arredondados de forma convencional:
  • Forma retangular: Z = 100 - j\,106,1\\ \Omega.
  • Forma polar: Z = 145,8\angle -46,7^\circ\\ \Omega.

Resposta

Z = (100 - j\,106,1)\\ \Omega
Z = 145,8\angle -46,7^\circ\\ \Omega

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