Um resistor de 1 k Omega está em série com um indutor de 1 m H e esta combinação está em paralelo com um capacitor de 0,4 mu F.
Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um resistor de 1 kΩ (R=1000 Ω) em série com um indutor de 1 mH (L=1·10⁻³ H) e que essa dupla está em paralelo com um capacitor de 0,4 µF (C=0,4·10⁻⁶ F).
Conteúdo: impedâncias no domínio de Laplace (ou frequência), soma em série e combinação em paralelo.
Vamos precisar das fórmulas:
• Z_R = R
• Z_L = s·L
• Z_C = 1/(s·C)
• Série: Z_tot = Z_A + Z_B
• Paralelo: Z_tot = (Z_A·Z_B)/(Z_A + Z_B)

Passo 2

Primeiro, escreve cada impedância em função de s (onde s=jω ou só s):
Z_R = 1000
Z_L = s·(1·10⁻³) = 10⁻³ s
Z_C = 1/(s·0,4·10⁻⁶) = 1/(4·10⁻⁷ s) = 2,5·10⁶·1/s

Passo 3

A impedância da série R+L é só soma:
Z_série = Z_R + Z_L = 1000 + 10⁻³ s
E a do capacitor continua Z_C = 2,5·10⁶ ·(1/s).

Passo 4

Agora põe esses dois ramos em paralelo:
Z_total(s) = Z_série ∥ Z_C = (Z_série·Z_C)/(Z_série + Z_C)
Substituindo:
Z_total = (1000 + 10⁻³ s)·(2,5·10⁶/s)
─────────────────────────
(1000 + 10⁻³ s) + (2,5·10⁶/s)
Para limpar a fração, multiplica numerador e denominador por s:
Numerador → (1000 + 10⁻³ s)·2,5·10⁶
Denominador → s·(1000 + 10⁻³ s) + 2,5·10⁶

Passo 5

Vamos expandir e organizar em polinômios:
Numerador = 2,5·10⁶·1000 + 2,5·10⁶·10⁻³ s
= 2,5·10⁹ + 2,5·10³ s
Denominador = 1000 s + 10⁻³ s² + 2,5·10⁶
Então a forma racional final fica:
Z(s) ;=; 2,5times10^3,s ;+; 2,5times10^910^-3,s^2 ;+; 10^3,s ;+; 2,5times10^6

Resposta

boxedZ(s) ;=; 2,5times10^3,s + 2,5times10^910^-3,s^2 + 10^3,s + 2,5times10^6

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