Questão 2: Considere os pontos A:(1,0,1), B:(3,2,-1) e C:(6,-1,5). Mostre que esses pontos não são colineares e calcule a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: A=(1,0,1), B=(3,2,-1) e C=(6,-1,5).
Queremos mostrar que não são colineares e calcular a área do triângulo ABC.
O conteúdo envolve operações com vetores em \mathbb{R}^3: subtração para obter os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, produto vetorial para testar a colinearidade e, em seguida, a magnitude desse produto para achar a área.

Passo 2

Calculamos os vetores que partem de A para B e de A para C:
\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1,\;2-0,\;-1-1) = (2,\,2,\,-2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (6-1,\;-1-0,\;5-1) = (5,\,-1,\,4).

Passo 3

Agora determinamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2 & -2 \\\\ 5 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot4 - (-2)\cdot(-1),\;-\bigl(2\cdot4 - (-2)\cdot5\bigr),\;2\cdot(-1) - 2\cdot5\bigr) = (6,\,-18,\,-12).

Passo 4

Como \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,-18,-12)\neq(0,0,0), concluímos que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos. Logo, os pontos A, B e C não são colineares.

Passo 5

A magnitude do produto vetorial dá a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 324 + 144} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}.
A área do triângulo ABC é metade dessa área:
\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\,\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \frac{1}{2}\,6\sqrt{14} = 3\sqrt{14}.Á

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares e a área do triângulo ABC é 3\sqrt{14}.

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