Questão 2: Considere os pontos A:(1,0,1), B:(3,2,-1) e C:(6,-1,5). Mostre que esses pontos não são colineares e calcule a área do triângulo A B C.
Passo 1
O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: A=(1,0,1), B=(3,2,-1) e C=(6,-1,5).
Queremos mostrar que não são colineares e calcular a área do triângulo ABC.
O conteúdo envolve operações com vetores em \mathbb{R}^3: subtração para obter os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, produto vetorial para testar a colinearidade e, em seguida, a magnitude desse produto para achar a área.
Passo 2
Calculamos os vetores que partem de A para B e de A para C:
\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1,\;2-0,\;-1-1) = (2,\,2,\,-2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (6-1,\;-1-0,\;5-1) = (5,\,-1,\,4).
Passo 3
Agora determinamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
Como \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,-18,-12)\neq(0,0,0), concluímos que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos. Logo, os pontos A, B e C não são colineares.
Passo 5
A magnitude do produto vetorial dá a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}: