Dois osciladores harmônicos simples de mesma frequência, amplitudes
, constantes de fase, respectivamente, 0 e
, atuam sobre um objeto que se move em linha reta. (a) Qual amplitude de oscilação resultante do objeto?
Resposta:
(b) Qual a constante de fase da oscilação resultante?
Resposta:
(b) Qual a constante de fase da oscilação resultante?
Passo 1
O enunciado dá duas oscilações harmônicas simples de mesma frequência que se somam. Os dados são:
O que se pede:
(a) a amplitude resultante da soma das duas oscilações; (b) a constante de fase da oscilação resultante.
(a) a amplitude resultante da soma das duas oscilações; (b) a constante de fase da oscilação resultante.
Passo 2
Primeiro vamos entender como somar duas SHM de mesma frequência de forma sistemática. Cada movimento pode ser escrito como
onde
é a amplitude (
),
é a frequência angular comum e
é a constante de fase. A soma é
A ideia é reescrever essa soma como uma única cosenoide
onde
e
são a amplitude e a fase resultantes que queremos achar.
Passo 3
Vamos decompor cada termo em componentes em
e
usando a identidade
Aplicando aos dois termos e agrupando:
Definimos
então
Comparando com
, obtemos
Daí a amplitude resultante é
Podemos simplificar usando a identidade
, obtendo a forma prática
A fase resultante satisfaz
lembrando que deve-se observar o quadrante pelo sinal de
e
.
Passo 4
Agora aplicamos aos valores numéricos. Primeiro calculemos
. Como
e
,
Usando
(que corresponde a
), temos
Agora a amplitude:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto
Arredondando de forma razoável,
.
Passo 5
Agora achamos a fase resultante. Lembrando as definições:
Como
,
e
. Para
usamos
Então
Passo 6
A fase
satisfaz
Calculando:
Portanto
Em graus isso é aproximadamente
. Como
e
, o ângulo está no primeiro quadrante e não precisamos ajustar a
.