Dois osciladores harmônicos simples de mesma frequência, amplitudes x_{1 m}=7,0 \mathrm{~mm} \mathrm{e} x_{2 m}=6,0 \mathrm{~mm}, constantes de fase, respectivamente, 0 e \pi / 9 \mathrm{rad}, atuam sobre um objeto que se move em linha reta. (a) Qual amplitude de oscilação resultante do objeto?
Resposta: \square
(b) Qual a constante de fase da oscilação resultante?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá duas oscilações harmônicas simples de mesma frequência que se somam. Os dados são:
x_{1m}=7{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad x_{2m}=6{,}0\\ \mathrm{mm},
\phi_1=0,\qquad \phi_2=\frac{\pi}{9}\\ \text{rad}.
O que se pede:
(a) a amplitude resultante da soma das duas oscilações; (b) a constante de fase da oscilação resultante.

Passo 2

Primeiro vamos entender como somar duas SHM de mesma frequência de forma sistemática. Cada movimento pode ser escrito como
x_i(t)=A_i\cos(\omega t+\phi_i),
onde A_i é a amplitude ( i=1,2), \omega é a frequência angular comum e \phi_i é a constante de fase. A soma é
x(t)=A_1\cos(\omega t+\phi_1)+A_2\cos(\omega t+\phi_2).
A ideia é reescrever essa soma como uma única cosenoide
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A e \varphi são a amplitude e a fase resultantes que queremos achar.

Passo 3

Vamos decompor cada termo em componentes em \cos\omega t e \sin\omega t usando a identidade
\cos(\omega t+\varphi)=\cos\omega t\cos\varphi-\sin\omega t\sin\varphi.
Aplicando aos dois termos e agrupando:
x(t)=(A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2)\cos\omega t-(A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2)\sin\omega t.
Definimos
X\equiv A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2,\qquad Y\equiv A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2,
então
x(t)=X\cos\omega t - Y\sin\omega t.
Comparando com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=A\cos\omega t\cos\varphi-A\sin\omega t\sin\varphi, obtemos
A\cos\varphi = X,\qquad A\sin\varphi = Y.
Daí a amplitude resultante é
A=\sqrt{X^2+Y^2}=\sqrt{\bigl(A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2\bigr)^2+\bigl(A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2\bigr)^2}.
Podemos simplificar usando a identidade \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta, obtendo a forma prática
A=\sqrt{A_1^{2}+A_2^{2}+2A_1A_2\cos(\phi_1-\phi_2)}.
A fase resultante satisfaz
\varphi=\operatorname{atan2}(Y,X)=\arctan\!\left(\frac{Y}{X}\right),
lembrando que deve-se observar o quadrante pelo sinal de X e Y.

Passo 4

Agora aplicamos aos valores numéricos. Primeiro calculemos \cos(\phi_1-\phi_2). Como \phi_1=0 e \phi_2=\pi/9,
\cos(\phi_1-\phi_2)=\cos\!\left(-\frac{\pi}{9}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{9}\right).
Usando \frac{\pi}{9}\approx0{,}349066\\ \text{rad} (que corresponde a 20^\circ), temos
\cos\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\approx0{,}9396926.
Agora a amplitude:
A^{2}=7{,}0^{2}+6{,}0^{2}+2\cdot7{,}0\cdot6{,}0\cdot0{,}9396926.
Calcule passo a passo:
7{,}0^{2}=49{,}0,\qquad 6{,}0^{2}=36{,}0,
2\cdot7{,}0\cdot6{,}0\cdot0{,}9396926=84{,}0\cdot0{,}9396926\approx78{,}934706.
Somando:
A^{2}\approx49{,}0+36{,}0+78{,}934706=163{,}934706.
Portanto
A\approx\sqrt{163{,}934706}\approx12{,}802.
Arredondando de forma razoável, A\approx12{,}8\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora achamos a fase resultante. Lembrando as definições:
X=A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2,\qquad Y=A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2.
Como \phi_1=0, \cos\phi_1=1 e \sin\phi_1=0. Para \phi_2=\pi/9 usamos
\cos\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\approx0{,}9396926,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\approx0{,}3420201.
Então
X=7{,}0\cdot1+6{,}0\cdot0{,}9396926\approx7{,}0+5{,}6381556=12{,}6381556,
Y=7{,}0\cdot0+6{,}0\cdot0{,}3420201\approx2{,}0521206.

Passo 6

A fase \varphi satisfaz
\tan\varphi=\frac{Y}{X}.
Calculando:
\tan\varphi\approx\frac{2{,}0521206}{12{,}6381556}\approx0{,}162375.
Portanto
\varphi\approx\arctan(0{,}162375)\approx0{,}1609\\ \text{rad}.
Em graus isso é aproximadamente 0{,}1609\times\frac{180}{\pi}\approx9{,}23^\circ. Como X>0 e Y>0, o ângulo está no primeiro quadrante e não precisamos ajustar a \arctan.

Resposta

A\approx12{,}8\\ \mathrm{mm}\n \varphi\approx0{,}161\\ \mathrm{rad}

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