(Potencial Elétrico-2,5 pontos) Uma partícula de carga q_{0}=+7,5 \mu \mathrm{C} é liberada a partir do repouso no ponto x=50 \mathrm{~cm}. A particula começa a se mover devido à presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a energia cinética da partícula após se deslocar 40 cm
se Q=-30 \mu C ? (Se aproximando 40 cm - Cargas de sinais opostos.)

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética da partícula após ela se deslocar 40 cm. As informações fornecidas (peguei os números do enunciado) são:
  • carga da partícula: \,q_{0}=+7{,}5\\ \mu\mathrm{C}\,;
  • carga fixa na origem: \,Q=-30\\ \mu\mathrm{C}\,;
  • posição inicial: x_{i}=50\\ \mathrm{cm};
  • deslocamento: 40\\ \mathrm{cm} (a partícula se move em direção à origem, já que as cargas têm sinais opostos);
  • posição final: x_{f}=x_{i}-40\\ \mathrm{cm}=50\\ \mathrm{cm}-40\\ \mathrm{cm}=10\\ \mathrm{cm}.
    O que é pedido: a energia cinética da partícula quando estiver em x_{f}=10\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicando bem devagar): como a força elétrica é conservativa, a energia mecânica total se conserva. Ou seja,
K_i + U_i = K_f + U_f,
onde K é energia cinética e U é energia potencial eletrostática. Aqui a partícula é liberada a partir do repouso, então K_i=0. Assim obtemos a expressão útil
K_f = U_i - U_f.
Explicando as variáveis: U(r) é a energia potencial elétrica da interação entre duas cargas pontuais q_{0} e Q separadas por distância r; essa energia vale
U(r)=k\,\frac{Q\,q_{0}}{r},
onde k é a constante eletrostática de Coulomb (também escrita como k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}). O que vamos calcular é
K_f = k\,Q\,q_{0}\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right),
com r_i e r_f as distâncias inicial e final ao ponto onde está Q (a origem). Aqui cada símbolo significa: k (constante), Q (carga fixa), q_{0} (carga da partícula), r_i (distância inicial) e r_f (distância final).

Passo 3

Converter unidades para o sistema SI (m e C), mostrando cada passo:
  • \,q_{0}=7{,}5\\ \mu\mathrm{C}=7{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • \,Q=-30\\ \mu\mathrm{C}=-30\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • x_{i}=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}, então r_i=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • x_{f}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, então r_f=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    Constante de Coulomb (valor numérico que usamos):
k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}}.

Passo 4

Calcular o fator \left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_f}\right). Substituindo r_i=0{,}50\\ \mathrm{m} e r_f=0{,}10\\ \mathrm{m},
\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}=\frac{1}{0{,}50}-\frac{1}{0{,}10}=2-\;10=-8\\ \mathrm{m^{-1}}.
Expliquei: \dfrac{1}{0{,}50}=2 porque 1\div0{,}5=2; \dfrac{1}{0{,}10}=10.

Passo 5

Calcular primeiro a diferença de potencial elétrico \Delta V = V_i-V_f = kQ\!\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_f}\right), passo a passo:
\Delta V = k\,Q\!\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) = (8{,}99\times10^{9})\cdot(-30\times10^{-6})\cdot(-8).
Agora simplifico os fatores numéricos:
-30\times10^{-6}\cdot(-8)=240\times10^{-6}=2{,}40\times10^{-4}.
Portanto
\Delta V=(8{,}99\times10^{9})\cdot(2{,}40\times10^{-4}) =8{,}99\cdot2{,}40\times10^{9-4} =21{,}576\times10^{5} =2{,}1576\times10^{6}\\ \mathrm{V}.
Ou seja, \Delta V\approx2{,}1576\times10^{6}\\ \mathrm{volts}.

Passo 6

Agora a energia cinética final é K_f=q_{0}\,\Delta V. Substituindo os números:
K_f=(7{,}5\times10^{-6})\cdot(2{,}1576\times10^{6})\\ \mathrm{J}.
Calculo:
K_f=7{,}5\cdot2{,}1576\times10^{-6+6}=7{,}5\cdot2{,}1576=16{,}182.
Arredondando com precisão razoável (duas casas significativas coerentes com dados em \mu\mathrm{C}):
K_f\approx16{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação curta e verificação de sinais: como Q é negativa e q_{0} positiva, a interação é atrativa; ao aproximar-se de Q a energia potencial torna-se mais negativa, então a diferença U_i-U_f é positiva e se transforma em energia cinética — portanto o resultado positivo faz sentido físico. O cálculo numérico foi feito sem arredondar prematuramente para evitar erro acumulado.

Resposta

K_f\approx16{,}2\\ \mathrm{J}

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