(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a expressão
está correta e, se não estiver, dizer o que está errado. Não há outros dados numéricos; apenas a expressão simbólica.
Passo 2
O que é o produto escalar (dot product): para dois vetores quaisquer
e
em
(ou
) o produto escalar é definido como
na representação por componentes. O produto escalar produz um número (um escalar). Geometricamente,
onde
é o ângulo entre
e
. Reforçando: o domínio do produto escalar são dois vetores e a imagem é um escalar.
Passo 3
Regra de tipos (importante para saber se uma expressão faz sentido):
- Se
é um escalar e é um vetor, então a multiplicação faz sentido (é um vetor). - Mas o produto escalar exige dois vetores como operandos; não se define “produto escalar entre um vetor e um escalar”. Ou seja,
não é definido.
Passo 4
Aplicando isso à expressão dada: primeiro calcule mentalmente a parte entre parênteses
Pelo que vimos, isto é um escalar. Chamemos esse escalar de
:
A expressão original fica então
. Mas, conforme a regra acima, o produto escalar entre um vetor e um escalar não está definido. Portanto a expressão
não faz sentido (é incorreta).
Passo 5
Exemplos de formas corretas e comparação (para fixar):
-
é correta: aqui é escalar e multiplica o vetor , resultando em um vetor. -
também é correta, por mesma razão. -
é uma expressão bem formada e é o produto misto (ou triplo escalar), que resulta em um escalar. - Já escrever algo como
também é incorreto porque é escalar e não se pode usar o ponto para “dot” entre escalar e vetor.
Observação sobre associatividade: o produto escalar não é associativo no sentido de que não se pode reassociar sem olhar os tipos. Não existe
nem
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para ver a diferença: tome
Então
A expressão inválida seria
, que não está definida. A forma válida
dá
E a forma mista
dá outro tipo de resultado escalar, diferente (neste caso zero).
Passo 7
Resumo intuitivo e dica para a prova: sempre verifique os “tipos” (vetor vs escalar) ao encadear operações vetoriais. Produto escalar toma dois vetores e devolve escalar; cruzamento toma dois vetores e devolve vetor. Use essas regras para checar se uma expressão é bem formada antes de tentar manipular.
Resposta
Incorreta. A expressão não está definida porque
é um escalar e não se pode fazer
. Formas corretas relacionadas são, por exemplo,
(vetor) ou
(escalar).