(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
\vec{A} \cdot(\vec{B} \cdot \vec{C})

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) está correta e, se não estiver, dizer o que está errado. Não há outros dados numéricos; apenas a expressão simbólica.

Passo 2

O que é o produto escalar (dot product): para dois vetores quaisquer \vec{X} e \vec{Y} em \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{R}^n) o produto escalar é definido como
\vec{X}\cdot\vec{Y}=x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3
na representação por componentes. O produto escalar produz um número (um escalar). Geometricamente,
\vec{X}\cdot\vec{Y} = \|\vec{X}\|\,\|\vec{Y}\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{X} e \vec{Y}. Reforçando: o domínio do produto escalar são dois vetores e a imagem é um escalar.

Passo 3

Regra de tipos (importante para saber se uma expressão faz sentido):
  • Se s é um escalar e \vec{V} é um vetor, então a multiplicação s\,\vec{V} faz sentido (é um vetor).
  • Mas o produto escalar exige dois vetores como operandos; não se define “produto escalar entre um vetor e um escalar”. Ou seja, \vec{V}\cdot s não é definido.

Passo 4

Aplicando isso à expressão dada: primeiro calcule mentalmente a parte entre parênteses
\vec{B}\cdot\vec{C}.
Pelo que vimos, isto é um escalar. Chamemos esse escalar de s:
s=\vec{B}\cdot\vec{C}=b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3.
A expressão original fica então \vec{A}\cdot s. Mas, conforme a regra acima, o produto escalar entre um vetor e um escalar não está definido. Portanto a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) não faz sentido (é incorreta).

Passo 5

Exemplos de formas corretas e comparação (para fixar):
  • (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A} é correta: aqui \vec{B}\cdot\vec{C} é escalar e multiplica o vetor \vec{A}, resultando em um vetor.
  • (\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} também é correta, por mesma razão.
  • \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é uma expressão bem formada e é o produto misto (ou triplo escalar), que resulta em um escalar.
  • Já escrever algo como (\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C} também é incorreto porque (\vec{A}\cdot\vec{B}) é escalar e não se pode usar o ponto para “dot” entre escalar e vetor.
Observação sobre associatividade: o produto escalar não é associativo no sentido de que não se pode reassociar sem olhar os tipos. Não existe \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) nem (\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para ver a diferença: tome
\vec{A}=(1,0,0),\quad \vec{B}=(1,1,0),\quad \vec{C}=(0,1,0).
Então
\vec{B}\cdot\vec{C}=1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
A expressão inválida seria \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) = \vec{A}\cdot 1, que não está definida. A forma válida (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A}
1\cdot \vec{A} = (1,0,0).
E a forma mista \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) dá outro tipo de resultado escalar, diferente (neste caso zero).

Passo 7

Resumo intuitivo e dica para a prova: sempre verifique os “tipos” (vetor vs escalar) ao encadear operações vetoriais. Produto escalar toma dois vetores e devolve escalar; cruzamento toma dois vetores e devolve vetor. Use essas regras para checar se uma expressão é bem formada antes de tentar manipular.

Resposta

Incorreta. A expressão não está definida porque \vec{B}\cdot\vec{C} é um escalar e não se pode fazer \vec{A}\cdot(\text{escalar}). Formas corretas relacionadas são, por exemplo, (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A} (vetor) ou \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) (escalar).

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