O enunciado pede resolver a equação \left|x^{2}-1\right|-2 x=1 para x real.
Informações dadas:
A incógnita é x\in\mathbb{R}.
Aparece um valor absoluto \left|x^{2}-1\right|, que nos força a considerar casos dependendo do sinal de x^{2}-1.
Passo 2
Lembrete sobre valor absoluto (vai ajudar muito): para qualquer expressão A\),
\[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=x^{2}-1\]. Então fazemos dois casos:
- Caso (I): \(x^{2}-1\ge 0.
- Caso (II): x^{2}-1<0.]
Passo 3
Resolver o Caso (I): suponha x^{2}-1\ge 0. Então \left|x^{2}-1\right|=x^{2}-1 e a equação fica
x^{2}-1-2x=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x^{2}-2x-2=0.
Isto é uma equação quadrática da forma ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-2, c=-2. Aplicando a fórmula quadrática
Agora verificar a condição x^{2}-1\ge 0 para cada raiz:
Para x=1+\sqrt{3}: 1+\sqrt{3}>1, então x^{2}>1 e x^{2}-1\ge0. Portanto x=1+\sqrt{3} é aceitável.
Para x=1-\sqrt{3}: calcular x^{2}=(1-\sqrt{3})^{2}=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}. Como 2\sqrt{3}\approx3{,}464, temos x^{2}\approx0{,}536<1, logo x^{2}-1<0. Portanto x=1-\sqrt{3} NÃO satisfaz a hipótese do caso e é rejeitada aqui.
Passo 4
Resolver o Caso (II): suponha x^{2}-1<0. Então \left|x^{2}-1\right|=1-x^{2} e a equação fica
1-x^{2}-2x=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-x^{2}-2x=0.
Fatorando:
-x(x+2)=0.
Portanto as soluções desta equação são x=0 ou x=-2. Agora verificar a condição x^{2}-1<0, que equivale a x^{2}<1 (ou |x|<1):
Para x=0: |0|<1 é verdadeiro, logo x=0 é aceitável.
Para x=-2: |-2|=2\not<1, então x=-2 NÃO satisfaz a hipótese do caso e é rejeitado.
Passo 5
Verificações finais (plugando nas expressões originais para assegurar que tudo bate):
Para x=0: \left|0^{2}-1\right|-2\cdot0=|{-1}|-0=1, OK.
Para x=1+\sqrt{3}: calcular x^{2}=(1+\sqrt{3})^{2}=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}. Então