RESOLUA \left|x^{2}-1\right|-2 x=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação \left|x^{2}-1\right|-2 x=1 para x real.
Informações dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Aparece um valor absoluto \left|x^{2}-1\right|, que nos força a considerar casos dependendo do sinal de x^{2}-1.

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto (vai ajudar muito): para qualquer expressão A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=x^{2}-1\]. Então fazemos dois casos: - Caso (I): \(x^{2}-1\ge 0.
- Caso (II): x^{2}-1<0.]

Passo 3

Resolver o Caso (I): suponha x^{2}-1\ge 0. Então \left|x^{2}-1\right|=x^{2}-1 e a equação fica
x^{2}-1-2x=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x^{2}-2x-2=0.
Isto é uma equação quadrática da forma ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-2, c=-2. Aplicando a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12.
Logo
x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Agora verificar a condição x^{2}-1\ge 0 para cada raiz:
  • Para x=1+\sqrt{3}: 1+\sqrt{3}>1, então x^{2}>1 e x^{2}-1\ge0. Portanto x=1+\sqrt{3} é aceitável.
  • Para x=1-\sqrt{3}: calcular x^{2}=(1-\sqrt{3})^{2}=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}. Como 2\sqrt{3}\approx3{,}464, temos x^{2}\approx0{,}536<1, logo x^{2}-1<0. Portanto x=1-\sqrt{3} NÃO satisfaz a hipótese do caso e é rejeitada aqui.

Passo 4

Resolver o Caso (II): suponha x^{2}-1<0. Então \left|x^{2}-1\right|=1-x^{2} e a equação fica
1-x^{2}-2x=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-x^{2}-2x=0.
Fatorando:
-x(x+2)=0.
Portanto as soluções desta equação são x=0 ou x=-2. Agora verificar a condição x^{2}-1<0, que equivale a x^{2}<1 (ou |x|<1):
  • Para x=0: |0|<1 é verdadeiro, logo x=0 é aceitável.
  • Para x=-2: |-2|=2\not<1, então x=-2 NÃO satisfaz a hipótese do caso e é rejeitado.

Passo 5

Verificações finais (plugando nas expressões originais para assegurar que tudo bate):
  • Para x=0: \left|0^{2}-1\right|-2\cdot0=|{-1}|-0=1, OK.
  • Para x=1+\sqrt{3}: calcular x^{2}=(1+\sqrt{3})^{2}=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}. Então
\left|x^{2}-1\right|-2x=(4+2\sqrt{3}-1)-2(1+\sqrt{3})=(3+2\sqrt{3})-(2+2\sqrt{3})=1,
OK.
Conclusão: as soluções reais são x=0 e x=1+\sqrt{3}.

Resposta

x=0
x=1+\sqrt{3}

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