SIMPLIFIQUE A EXPRESSÃO
\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a expressão
\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right).
  • Pedem para simplificar essa expressão algébrica.
  • Observação importante: há divisões por x e por y, então assumimos x\neq0 e y\neq0 para que a expressão faça sentido.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração dentro da potência.
Vou usar a regra de potências e recíproco: \dfrac{1}{x^{-1}}=x^{1} e, mais geralmente,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aplicando isso à fração
\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}
podemos tratar separadamente as potências de x e de y. Escrevendo por expoentes:
\frac{x^{1}y^{1}}{x^{-1}y^{3}}=x^{1-(-1)}\,y^{1-3}=x^{2}y^{-2}.

Passo 3

Reescrevendo x^{2}y^{-2} como fração (para visualizar melhor):
x^{2}y^{-2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Isso faz sentido porque y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência de quociente:
\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Logo
\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{4}}{y^{4}}.
Portanto a primeira parte da expressão ficou \dfrac{x^{4}}{y^{4}}.

Passo 5

Passamos à segunda parte da expressão:
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}.
Para subtrair frações, uso denominador comum. O mínimo comum denominador aqui é x^{4}. Reescrevo a primeira fração com denominador x^{4} multiplicando numerador e denominador por x:
\frac{y}{x^{3}}=\frac{y\cdot x}{x^{4}}=\frac{xy}{x^{4}}.
A segunda já tem denominador x^{4}. Então
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}=\frac{xy-y^{2}}{x^{4}}.

Passo 6

Fatoro o numerador xy-y^{2} em comum:
xy-y^{2}=y(x-y).
Assim a segunda parte fica
\frac{y(x-y)}{x^{4}}.

Passo 7

Agora multiplico as duas partes obtidas:
\frac{x^{4}}{y^{4}}\cdot\frac{y(x-y)}{x^{4}}.
Ao multiplicar frações, multiplica-se numeradores e denominadores. Também podemos cancelar fatores iguais (regra: se um fator aparece no numerador e no denominador, pode ser simplificado). Aqui há x^{4} no numerador da primeira fração e x^{4} no denominador da segunda, então eles se cancelam:
\frac{x^{4}}{y^{4}}\cdot\frac{y(x-y)}{x^{4}}=\frac{y(x-y)}{y^{4}}.

Passo 8

Simplificar a potência de y: \dfrac{y}{y^{4}}=y^{1-4}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}. Portanto
\frac{y(x-y)}{y^{4}}=\frac{x-y}{y^{3}}.

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida: a expressão simplificada é
\frac{x-y}{y^{3}}.
Isso exige y\neq0 (e também x\neq0 pela expressão original), condicional que já mencionamos no Passo 1.

Resposta

\dfrac{x-y}{y^{3}}

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