resolua a inequação
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação e encontrar todos os
reais que a satisfazem. A inequação dada é
Informações relevantes:
- É uma inequação linear em
. - Queremos determinar o conjunto de todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: aplicar a propriedade distributiva no membro direito. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números
,
Aqui
,
e
. Então
Substituindo na inequação obtemos
Passo 3
Agora vamos reunir os termos que contêm
no mesmo lado. Para isso subtraímos
de ambos os lados da desigualdade. Lembrando que somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade. Fazendo isso:
Precisamos agora somar os termos em
no membro direito.
Passo 4
Calcular
. Para somar (ou subtrair) coeficientes de
é útil escrever
como
, pois tem denominador comum com
:
Substituindo isso de volta na desigualdade:
Passo 5
Isolar
: subtrair
de ambos os lados (novamente, subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade):
Calcule
. Escrevendo
obtemos
Logo temos
Passo 6
Para obter
, multiplicamos ambos os lados por
, que é o inverso de
. Importante: multiplicar por um número positivo não muda o sentido da desigualdade; se fosse negativo, o sentido inverteria. Aqui
, então:
Calcule o produto:
Assim obtemos a desigualdade final (forma isolada de
):
Passo 7
Verificação rápida: para
a desigualdade deve ser verdadeira com igualdade. Substituindo:
- Membro esquerdo:
- Membro direito:
Como os dois lados são iguais em, a solução faz sentido. Testando um valor menor (por exemplo ) a desigualdade falha, confirmando que só os maiores ou iguais a satisfazem a inequação.