resolua a inequação
\frac{2}{5} x+1 \leqslant 2\left(x+\frac{3}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação e encontrar todos os x reais que a satisfazem. A inequação dada é
\frac{2}{5}x+1 \leqslant 2\!\left(x+\frac{3}{5}\right).
Informações relevantes:
  • É uma inequação linear em x.
  • Queremos determinar o conjunto de todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: aplicar a propriedade distributiva no membro direito. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aqui a=2, b=x e c=\tfrac{3}{5}. Então
2\!\left(x+\frac{3}{5}\right)=2x+\frac{6}{5}.
Substituindo na inequação obtemos
\frac{2}{5}x+1 \leqslant 2x+\frac{6}{5}.

Passo 3

Agora vamos reunir os termos que contêm x no mesmo lado. Para isso subtraímos \tfrac{2}{5}x de ambos os lados da desigualdade. Lembrando que somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade. Fazendo isso:
1 \leqslant 2x - \frac{2}{5}x + \frac{6}{5}.
Precisamos agora somar os termos em x no membro direito.

Passo 4

Calcular 2x - \tfrac{2}{5}x. Para somar (ou subtrair) coeficientes de x é útil escrever 2 como \tfrac{10}{5}, pois tem denominador comum com \tfrac{2}{5}:
2x - \frac{2}{5}x = \left(\frac{10}{5}-\frac{2}{5}\right)x = \frac{8}{5}x.
Substituindo isso de volta na desigualdade:
1 \leqslant \frac{8}{5}x + \frac{6}{5}.

Passo 5

Isolar x: subtrair \tfrac{6}{5} de ambos os lados (novamente, subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade):
1 - \frac{6}{5} \leqslant \frac{8}{5}x.
Calcule 1 - \tfrac{6}{5}. Escrevendo 1=\tfrac{5}{5} obtemos
\frac{5}{5}-\frac{6}{5} = -\frac{1}{5}.
Logo temos
-\frac{1}{5} \leqslant \frac{8}{5}x.

Passo 6

Para obter x, multiplicamos ambos os lados por \tfrac{5}{8}, que é o inverso de \tfrac{8}{5}. Importante: multiplicar por um número positivo não muda o sentido da desigualdade; se fosse negativo, o sentido inverteria. Aqui \tfrac{5}{8}>0, então:
\left(-\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{5}{8} \leqslant x.
Calcule o produto:
-\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{8} = -\frac{1}{8}.
Assim obtemos a desigualdade final (forma isolada de x):
-\frac{1}{8} \leqslant x.

Passo 7

Verificação rápida: para x=-\tfrac{1}{8} a desigualdade deve ser verdadeira com igualdade. Substituindo:
  • Membro esquerdo: \frac{2}{5}\left(-\frac{1}{8}\right)+1 = -\frac{1}{20}+1 = \frac{19}{20}.
  • Membro direito: 2\!\left(-\frac{1}{8}+\frac{3}{5}\right)=2\!\left(-\frac{5}{40}+\frac{24}{40}\right)=2\cdot\frac{19}{40}=\frac{19}{20}.
    Como os dois lados são iguais em x=-\tfrac{1}{8}, a solução faz sentido. Testando um valor menor (por exemplo x=-1) a desigualdade falha, confirmando que só os x maiores ou iguais a -\tfrac{1}{8} satisfazem a inequação.

Resposta

x \geqslant -\dfrac{1}{8}
\left[-\dfrac{1}{8},\,\infty\right)

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