Resolva

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que descreve como as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ mudam ao longo do tempo $ t $. As equações são:
x
Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos para resolver sistemas de equações diferenciais lineares nas duas primeiras equações e lidar com a equação não linear na terceira.

Passo 2

Vamos começar focando nas duas primeiras equações, que são lineares:
dxdt = -4x + y + z dydt = x + 5y - z
Podemos reescrever essas equações de forma matricial para facilitar a resolução:
ddt x y = -4 & 1 1 & 5 x y + z -z

Passo 3

Para resolver o sistema de equações lineares, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes -4 & 1 1 & 5 . Os autovalores ( lambda) são encontrados resolvendo a equação característica:
det -4 - lambda & 1 1 & 5 - lambda = 0
Calculando o determinante:
(-4 - lambda)(5 - lambda) - (1)(1) = 0 lambda^2 - lambda - 21 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 1 pm raiz1 + 842 = 1 pm raiz852

Passo 4

Com os autovalores lambda1 = 1 + raiz852 e lambda2 = 1 - raiz852, podemos encontrar os autovetores correspondentes e, assim, escrever a solução geral para $ x(t) $ e $ y(t) $. A solução será uma combinação das exponenciais desses autovalores multiplicadas pelos autovetores.

Passo 5

Agora, vamos tratar da terceira equação dzdt = r y z. Essa equação é não linear porque envolve o produto de $ y $ e $ z $. Para resolver, precisamos expressar $ y(t) $ a partir das soluções encontradas anteriormente e então usar o método de separação de variáveis.
Primeiro, assumindo que já temos $ y(t) $ da solução das duas primeiras equações, podemos reescrever a equação para $ z(t) $ como:
y
Dividindo ambos os lados por $ z $:
z
Agora, integrando ambos os lados em relação a $ t $:
y(t)
Onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para $ z(t) $:
y(t)

Resposta

A solução geral do sistema é composta pelas soluções das duas primeiras equações lineares para $ x(t) $ e $ y(t) $, que envolvem termos exponenciais com os autovalores encontrados, e a solução para $ z(t) $, que depende da integral de $ y(t) $. Portanto, temos:
x(t)
Onde $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ e $ E $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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