Resolva:
10101010101/10101010
Transformar o resultado para Octal e Decimal
Passo 1
O enunciado dá duas sequências de dígitos binários e pede o quociente e as suas representações em octal e em decimal. Dados fornecidos:
Numerador: 10101010101 (base 2).
Denominador: 10101010 (base 2).
O que se pede:
Calcular o valor de \dfrac{10101010101}{10101010} (interpretando os números como binários).
Apresentar o resultado em octal.
Apresentar o resultado em decimal.
Passo 2
Converter cada número binário para decimal (explicando o método). Regra: cada dígito binário corresponde a uma potência de 2; somam-se as potências onde há bit 1.
Numerador 10101010101_2. Escrevendo as potências (da esquerda para a direita, posição de 10 a 0):
Observação curta: também é possível converter binário para octal agrupando bits de 3 em 3 (da direita para a esquerda); por exemplo 10101010101_2 = 010\;101\;010\;101_2 = 2\;5\;2\;5_8 = 2525_8 e 10101010_2 = 010\;101\;010_2 = 2\;5\;2_8 = 252_8. Isso é útil para checar consistência mais adiante.
Passo 3
Calcular a divisão em forma de fração e simplificar (método básico de inteiros):
Conclusão exata: o quociente é \dfrac{273}{34} que é 8 mais resto \dfrac{1}{34}.
Passo 4
Converter o resultado para decimal (explicar e mostrar aproximação). Já temos a forma exata:
\frac{273}{34}=8+\frac{1}{34}.
Calcule a parte fracionária em decimal: \dfrac{1}{34}\approx0{,}029411764705882\ldots (repetição periódica na expansão decimal, mas aqui basta a aproximação). Então
\frac{273}{34}\approx 8{,}029411764705882\ldots
No formato exato e conveniente para provas pode-se deixar como \dfrac{273}{34} ou como 8+\dfrac{1}{34}.
Passo 5
Converter o resultado para octal (método explicado): converter a parte inteira e a parte fracionária separadamente.
Parte inteira: 8_{10} em octal é 10_8 (porque 8_{10}=1\cdot8^1+0\cdot8^0).
Parte fracionária: queremos converter f=\dfrac{1}{34} para base 8. Método: multiplicar sucessivamente por 8 e extrair a parte inteira de cada produto; o resto (parte fracionária) segue para a próxima multiplicação. Faço as contas em forma de frações exatas para detectar repetição:
Note que r_9=\dfrac{4}{17} é igual a r_1; portanto a sequência de restos entrou em ciclo. Os dígitos a partir de \text{dígito}_2 até \text{dígito}_9 repetem ciclicamente. Listando os dígitos obtidos em ordem: