Resolva:
10101010101/10101010
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá duas sequências de dígitos binários e pede o quociente e as suas representações em octal e em decimal. Dados fornecidos:
  • Numerador: 10101010101 (base 2).
  • Denominador: 10101010 (base 2).
O que se pede:
  • Calcular o valor de \dfrac{10101010101}{10101010} (interpretando os números como binários).
  • Apresentar o resultado em octal.
  • Apresentar o resultado em decimal.

Passo 2

Converter cada número binário para decimal (explicando o método). Regra: cada dígito binário corresponde a uma potência de 2; somam-se as potências onde há bit 1.
Numerador 10101010101_2. Escrevendo as potências (da esquerda para a direita, posição de 10 a 0):
10101010101_2 = 2^{10}+2^8+2^6+2^4+2^2+2^0.
Calculemos:
2^{10}=1024,\quad 2^8=256,\quad 2^6=64,\quad 2^4=16,\quad 2^2=4,\quad 2^0=1.
Somando:
1024+256+64+16+4+1 = 1365.
Logo o numerador é 1365 em decimal.
Denominador 10101010_2. Posicionando (de 7 a 0):
10101010_2 = 2^7+2^5+2^3+2^1.
Calculemos:
2^7=128,\quad 2^5=32,\quad 2^3=8,\quad 2^1=2.
Somando:
128+32+8+2 = 170.
Logo o denominador é 170 em decimal.
Observação curta: também é possível converter binário para octal agrupando bits de 3 em 3 (da direita para a esquerda); por exemplo 10101010101_2 = 010\;101\;010\;101_2 = 2\;5\;2\;5_8 = 2525_8 e 10101010_2 = 010\;101\;010_2 = 2\;5\;2_8 = 252_8. Isso é útil para checar consistência mais adiante.

Passo 3

Calcular a divisão em forma de fração e simplificar (método básico de inteiros):
Temos em decimal
\frac{10101010101_2}{10101010_2} = \frac{1365}{170}.
Simplificar a fração usando o máximo divisor comum. Observando que 1365 e 170 são divisíveis por 5:
\frac{1365}{170}=\frac{1365\div5}{170\div5}=\frac{273}{34}.
Agora dividir 273 por 34:
34\times8=272,\quad 273-272=1.
Portanto
\frac{273}{34}=8+\frac{1}{34}.
Conclusão exata: o quociente é \dfrac{273}{34} que é 8 mais resto \dfrac{1}{34}.

Passo 4

Converter o resultado para decimal (explicar e mostrar aproximação). Já temos a forma exata:
\frac{273}{34}=8+\frac{1}{34}.
Calcule a parte fracionária em decimal: \dfrac{1}{34}\approx0{,}029411764705882\ldots (repetição periódica na expansão decimal, mas aqui basta a aproximação). Então
\frac{273}{34}\approx 8{,}029411764705882\ldots
No formato exato e conveniente para provas pode-se deixar como \dfrac{273}{34} ou como 8+\dfrac{1}{34}.

Passo 5

Converter o resultado para octal (método explicado): converter a parte inteira e a parte fracionária separadamente.
  • Parte inteira: 8_{10} em octal é 10_8 (porque 8_{10}=1\cdot8^1+0\cdot8^0).
  • Parte fracionária: queremos converter f=\dfrac{1}{34} para base 8. Método: multiplicar sucessivamente por 8 e extrair a parte inteira de cada produto; o resto (parte fracionária) segue para a próxima multiplicação. Faço as contas em forma de frações exatas para detectar repetição:
\begin{aligned} &f_0=\frac{1}{34}.\\\ &f_0\cdot8=\frac{8}{34}=\frac{4}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_1=0,\; r_1=\frac{4}{17}.\\\ &r_1\cdot8=\frac{32}{17}=1+\frac{15}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_2=1,\; r_2=\frac{15}{17}.\\\ &r_2\cdot8=\frac{120}{17}=7+\frac{1}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_3=7,\; r_3=\frac{1}{17}.\\\ &r_3\cdot8=\frac{8}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_4=0,\; r_4=\frac{8}{17}.\\\ &r_4\cdot8=\frac{64}{17}=3+\frac{13}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_5=3,\; r_5=\frac{13}{17}.\\\ &r_5\cdot8=\frac{104}{17}=6+\frac{2}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_6=6,\; r_6=\frac{2}{17}.\\\ &r_6\cdot8=\frac{16}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_7=0,\; r_7=\frac{16}{17}.\\\ &r_7\cdot8=\frac{128}{17}=7+\frac{9}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_8=7,\; r_8=\frac{9}{17}.\\\ &r_8\cdot8=\frac{72}{17}=4+\frac{4}{17}\quad\Rightarrow\; \text{dígito}_9=4,\; r_9=\frac{4}{17}. \end{aligned}ííííííííí
Note que r_9=\dfrac{4}{17} é igual a r_1; portanto a sequência de restos entrou em ciclo. Os dígitos a partir de \text{dígito}_2í até \text{dígito}_9í repetem ciclicamente. Listando os dígitos obtidos em ordem:
\text{dígitos octais fracionários} = 0,\;1,\;7,\;0,\;3,\;6,\;0,\;7,\;4,\;\overline{1,7,0,3,6,0,7,4}\ldotsíá
Ou seja, há um dígito inicial 0 e em seguida um bloco repetido \,17036074.
Portanto a representação em octal do número é
10.0\overline{17036074}_8.
Interpretação: parte inteira 10_8 (que é 8_{10}) e parte fracionária 0\overline{17036074}_8.

Passo 6

Resumo das formas convenientes para a prova:
  • Fração exata: \dfrac{273}{34}.
  • Decimal aproximado: 8{,}0294117647\ldots.
  • Octal com repetição identificada: 10.0\overline{17036074}_8.

Resposta

10.0\overline{17036074}_8
\dfrac{273}{34}=8{,}029411764705882\ldots

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