Resolva:
1010101010101/1010101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado fornece a expressão em binário:
\text{numerador} = 1010101010101_2,\qquad \text{denominador} = 1010101_2
E pede que se calcule o quociente dessa divisão e transforme o resultado para octal e para decimal. Vou usar as duas informações binárias dadas como entradas em base 2 e depois converter o resultado.

Passo 2

Converter o numerador binário para decimal passo a passo.
O numerador tem 13 dígitos e os bits 1 estão nas potências pares de 2 (posições 0,2,4,6,8,10,12). Então
N = 1010101010101_2 = 2^{12}+2^{10}+2^{8}+2^{6}+2^{4}+2^{2}+2^{0}.
Isso é uma soma de potências do tipo 2^{2k}=(4)^k para k=0,\dots,6. Usando a soma geométrica:
N=\sum_{k=0}^{6}4^{k}=\frac{4^{7}-1}{4-1}=\frac{4^{7}-1}{3}.
Como 4^{7}=16384, temos
N=\frac{16384-1}{3}=\frac{16383}{3}=5461.
Portanto
1010101010101_2 = 5461_{10}.

Passo 3

Converter o denominador binário para decimal passo a passo.
O denominador é
D=1010101_2=2^{6}+2^{4}+2^{2}+2^{0}=64+16+4+1=85.
Portanto
1010101_2=85_{10}.

Passo 4

Calcular o quociente em decimal (racional) e a parte inteira + resto.
Fazendo a divisão em decimal:
\frac{N}{D}=\frac{5461}{85}.
Dividindo inteiros: 85\cdot 64=5440, resto 5461-5440=21. Logo
\frac{5461}{85}=64+\frac{21}{85}.
Portanto a representação exata em decimal é \dfrac{5461}{85}. Como número decimal aproximado,
\frac{5461}{85}\approx 64,247058823529411\ldots
(onde a parte decimal é periódica porque 85 tem fator primo 17 além de 5).

Passo 5

Converter o resultado para octal. Vou converter a parte inteira e depois a parte fracionária.
Parte inteira: 64_{10} em octal.
Dividindo por 8:
64\div 8 = 8\\ \text{(resto 0)},\qquad 8\div 8=1\\ \text{(resto 0)},\qquad 1\div 8=0\\ \text{(resto 1)}.
Lendo restos de baixo para cima obtemos 100_8. Assim a parte inteira é 100_8.
Parte fracionária: converter \dfrac{21}{85} para octal usando multiplicação sucessiva por 8.
Fazendo os passos (cada linha mostra r atual multiplicado por 8, o inteiro é o dígito octal, o novo resto é escrito como fração sobre 85):
\begin{array}{l} \frac{21}{85}\cdot 8=\frac{168}{85}=1+\frac{83}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }1,\\[4pt] \frac{83}{85}\cdot 8=\frac{664}{85}=7+\frac{69}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }7,\\[4pt] \frac{69}{85}\cdot 8=\frac{552}{85}=6+\frac{42}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }6,\\[4pt] \frac{42}{85}\cdot 8=\frac{336}{85}=3+\frac{81}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }3,\\[4pt] \frac{81}{85}\cdot 8=\frac{648}{85}=7+\frac{53}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }7,\\[4pt] \frac{53}{85}\cdot 8=\frac{424}{85}=4+\frac{84}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }4,\\[4pt] \frac{84}{85}\cdot 8=\frac{672}{85}=7+\frac{77}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }7,\\[4pt] \frac{77}{85}\cdot 8=\frac{616}{85}=7+\frac{21}{85}\quad\Rightarrow\\ \text{octal digit }7.\\\ \end{array}
No último passo o resto voltou a ser \dfrac{21}{85}, que é o início, portanto os dígitos se repetem a partir desse ponto. Assim a parte fracionária em octal é periódica com período de 8 dígitos: 17637477 repetindo.
Juntando parte inteira e fracionária:
\frac{1010101010101_2}{1010101_2}=100.\overline{17637477}_8.]

Passo 6

Resumo final (formas exata e aproximada):
  • forma exata racional em decimal: \dfrac{5461}{85};
  • forma decimal aproximada: 64,247058823529411\ldots;
  • forma em octal (com período indicado): 100.\overline{17637477}_8.

Resposta

100.\overline{17637477}_8
\dfrac{5461}{85}=64,247058823529411\ldots

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