Resolva:
11111111110 / 1010101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número binário 11111111110 por 1010101 e, em seguida, transformar o resultado (do quociente) para octal e para decimal.
Informações dadas:
  • Dividendo (binário): 11111111110.
  • Divisor (binário): 1010101.
    O que é pedido:
  1. Calcular o quociente (e, se útil, o resto) da divisão inteira binária.
  2. Converter o quociente para octal.
  3. Converter o quociente para decimal.

Passo 2

Breve explicação do método (como se faz na prova). A divisão binária é igual à divisão longa em base decimal, só que:
  • Os dígitos válidos são 0 e 1.
  • Cada passo consiste em ver se o divisor “cabe” no prefixo atual do dividendo; se couber, coloca-se 1 no quociente nessa posição e subtrai-se; se não couber, coloca-se 0.
  • Subtração binária usa o mesmo princípio de empréstimo (borrow). Uma maneira prática é converter temporariamente pequenos blocos para decimal para checar e subtrair, quando isso agiliza a conta à mão.
Também útil: o número de bits do quociente será número de bits do dividendo menos número de bits do divisor mais 1 . Aqui: 11-7+1=5 bits no quociente.

Passo 3

Fazer a divisão longa em binário passo a passo.
Dados (contando bits, do mais significativo ao menos significativo):
  • Dividendo (11 bits): 11111111110. (bits da posição 10 até 0)
  • Divisor (7 bits): 1010101.
  1. Pegamos os primeiros 7 bits do dividendo (posições 10…4): 1111111.
    Compare 1111111 com o divisor 1010101. Como 1111111_2>1010101_2, cabe 1 vez. Então o primeiro bit do quociente (mais significativo, chamemos q_4) é 1.
Subtração:
1111111_2 - 1010101_2 = 0101010_2.
(Em decimal: 127-85=42, e 42_{10}=101010_2; escrevendo com 7 bits: 0101010_2.)
  1. Baixamos o próximo bit do dividendo (posição 3), que é 1. Então o resto atual fica
0101010_2\\ \text{(7 bits)} \\ \text{com o próximo bit} \to 01010101_2.ó
Compare 01010101_2 com 1010101_2. Note que 01010101_2 = 1010101_2 (são o mesmo valor, porque o zero inicial não muda), então cabe exatamente 1 vez. Portanto q_3=1.
Subtração:
01010101_2 - 1010101_2 = 00000000_2.
(Resto zero.)
  1. Baixamos o próximo bit do dividendo (posição 2), que é 1. Resto vira 00000001_2. Como isso é menor que 1010101_2, não cabe. Então q_2=0. Não há subtração (resto permanece).
  2. Baixamos o próximo bit (posição 1), que é 1. Resto vira 00000011_2. Ainda menor que o divisor, então q_1=0.
  3. Baixamos o último bit (posição 0), que é 0. Resto vira 000000110_2 (ou simplesmente 110_2). Ainda menor que o divisor, então q_0=0.
Portanto os bits do quociente são, de q_4 até q_0:
q_4 q_3 q_2 q_1 q_0 = 1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0,
ou seja o quociente em binário é
11000_2.
O resto final (se for relevante) ficou 110_2 (em decimal 6).

Passo 4

Verificação por conversão para decimal (checar a conta; bom hábito na prova). Converter os dois números iniciais para decimal e dividir para ver se o quociente bate.
Converter o dividendo:
11111111110_2 = \sum_{k=1}^{10} 2^k = (2^{11}-1) - 1 = 2047 - 1 = 2046_{10}.
(Outra forma: soma dos bits de 2^1 até 2^{10}.)
Converter o divisor:
1010101_2 = 2^6 + 2^4 + 2^2 + 2^0 = 64 + 16 + 4 + 1 = 85_{10}.
Dividindo em decimal:
2046 \div 85 = 24 \text{ com resto } 6,
porque 85\cdot24=2040 e 2046-2040=6. Isso confirma que o quociente é 24_{10} e o resto 6_{10}. Em binário 24_{10}=11000_2, que é exatamente o quociente encontrado.

Passo 5

Converter o quociente 11000_2 para decimal (explicando o processo para prova).
Cada posição vale uma potência de 2. Em 11000_2 temos (da direita para a esquerda):
11000_2 = 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 24_{10}.

Passo 6

Converter o quociente 11000_2 para octal (método prático). Para ir de binário para octal, agrupa-se os bits em grupos de três, a partir da direita, e substitui cada grupo pelo dígito octal correspondente.
Escrevendo com grupos de 3 bits:
11000_2 = 011\\\ 000_2.
  • 011_2 = 3_{8}.
  • 000_2 = 0_{8}.
Logo em octal:
11000_2 = 30_8.

Passo 7

Resumo final rápido antes da resposta: quociente binário 11000_2, que equivale a 24_{10} em decimal e a 30_8 em octal. Resto da divisão: 110_2 = 6_{10} (se for necessário saber).

Resposta

30_8
24_{10}

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