Resolva:
11100100101/1101
Transformar o resultado para Octal e Decimal
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado\n
Pede: calcular a divisão do número binário \,11100100101 por \,1101 e transformar o resultado para octal e decimal.
Dados (em binário): numerador \,11100100101 e denominador \,1101.
O que vamos entregar no final: a representação do quociente (com parte inteira e, se houver, parte fracionária periódica) em binário, em octal e em decimal.
Passo 2
Converter os dois números binários para decimal (para entender o valor e facilitar a divisão)\n
Como converter binário para decimal: cada dígito binário vale 2^k dependendo da posição k (com k=0 na posição menos significativa). Soma-se os 2^k correspondentes aos bits iguais a 1.\n
Para o numerador \,11100100101: listar bits da esquerda para a direita com potências de 2
\begin{array}{l} \text{bits: }1\;1\;1\;0\;0\;1\;0\;0\;1\;0\;1\\\ \text{posições (de }10\text{ a }0):\;10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 \end{array}
Logo, em decimal estamos calculando \dfrac{1829}{13}.
Passo 3
Fazer a divisão em decimal (inteira) para obter quociente e resto\n
Dividindo 1829 por 13:
13\times140=1820,\qquad 1829-1820=9.
Portanto o quociente inteiro é 140 e o resto é 9. Em forma de número racional:
\frac{1829}{13}=140+\frac{9}{13}.
Isto nos diz que a parte inteira do resultado (em qualquer base) será o correspondente de 140 naquela base, e haverá uma parte fracionária representando \dfrac{9}{13}.
Passo 4
Converter a parte inteira 140_{10} para binário (mostrando o método)\n
Método (divisões sucessivas por 2): achar potências de 2 que somam 140.
140 = 128 + 8 + 4 = 2^{7}+2^{3}+2^{2}.
Logo, em binário (colocando zeros para as posições ausentes):
140_{10} = 1\;0\;0\;0\;1\;1\;0\;0_2 = 10001100_2.
Também podemos verificar: 10001100_2 = 2^7+2^3+2^2 =128+8+4=140.
O resto 9_{10} em binário é
9_{10}=1001_2.
Passo 5
Expressar o resultado em binário como número misto e obter a parte fracionária em binário (\dfrac{9}{13} em binário)\n
O resultado exato em binário pode ser escrito como
10001100_2 + \frac{1001_2}{1101_2}.
Mas para escrever uma parte fracionária binária (bits depois do ponto) precisamos expandir \dfrac{9}{13} em base 2.
Método para passar uma fração r=\dfrac{\text{resto}}{\text{divisor}} para binário: multiplicar r por 2, anotar a parte inteira (0 ou 1) como o próximo dígito binário, e repetir com a parte fracionária resultante. Se uma mesma fração reaparecer, a expansão é periódica a partir daí.
e então repetem. Portanto a parte fracionária binária é periódica de comprimento 12:
\frac{9}{13} = 0.(101100010011)_2 \quad\text{(repetição periódica do bloco }101100010011).çãó
Assim o resultado completo em binário é
10001100.(101100010011)_2\\ \text{(periódico)}.ó
Passo 6
Converter a representação binária periódica para octal (explicando por que é simples aqui)\n
Regra prática: agrupar bits de 3 em 3 (a partir do ponto para ambos os lados) e transformar cada tripla em um dígito octal. Como o bloco periódico binário tem comprimento 12, que é múltiplo de 3, ele se ajusta perfeitamente em grupos de 3 e a repetição em octal também será periódica com período 12/3=4 dígitos octais.
Parte inteira: 10001100_2. Agrupar em triplas da direita: