Resolva:
11100100101/1101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos dado\n
  • Pede: calcular a divisão do número binário \,11100100101 por \,1101 e transformar o resultado para octal e decimal.
  • Dados (em binário): numerador \,11100100101 e denominador \,1101.
  • O que vamos entregar no final: a representação do quociente (com parte inteira e, se houver, parte fracionária periódica) em binário, em octal e em decimal.

Passo 2

Converter os dois números binários para decimal (para entender o valor e facilitar a divisão)\n
Como converter binário para decimal: cada dígito binário vale 2^k dependendo da posição k (com k=0 na posição menos significativa). Soma-se os 2^k correspondentes aos bits iguais a 1.\n
  • Para o numerador \,11100100101: listar bits da esquerda para a direita com potências de 2
\begin{array}{l} \text{bits: }1\;1\;1\;0\;0\;1\;0\;0\;1\;0\;1\\\ \text{posições (de }10\text{ a }0):\;10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 \end{array}çõ
11100100101_2 = 2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{5}+2^{2}+2^{0}
=1024+512+256+32+4+1=1829.
  • Para o denominador \,1101:
1101_2 = 2^{3}+2^{2}+2^{0}=8+4+1=13.
Logo, em decimal estamos calculando \dfrac{1829}{13}.

Passo 3

Fazer a divisão em decimal (inteira) para obter quociente e resto\n
Dividindo 1829 por 13:
13\times140=1820,\qquad 1829-1820=9.
Portanto o quociente inteiro é 140 e o resto é 9. Em forma de número racional:
\frac{1829}{13}=140+\frac{9}{13}.
Isto nos diz que a parte inteira do resultado (em qualquer base) será o correspondente de 140 naquela base, e haverá uma parte fracionária representando \dfrac{9}{13}.

Passo 4

Converter a parte inteira 140_{10} para binário (mostrando o método)\n
Método (divisões sucessivas por 2): achar potências de 2 que somam 140.
140 = 128 + 8 + 4 = 2^{7}+2^{3}+2^{2}.
Logo, em binário (colocando zeros para as posições ausentes):
140_{10} = 1\;0\;0\;0\;1\;1\;0\;0_2 = 10001100_2.
Também podemos verificar: 10001100_2 = 2^7+2^3+2^2 =128+8+4=140.
O resto 9_{10} em binário é
9_{10}=1001_2.

Passo 5

Expressar o resultado em binário como número misto e obter a parte fracionária em binário ( \dfrac{9}{13} em binário)\n
O resultado exato em binário pode ser escrito como
10001100_2 + \frac{1001_2}{1101_2}.
Mas para escrever uma parte fracionária binária (bits depois do ponto) precisamos expandir \dfrac{9}{13} em base 2.
Método para passar uma fração r=\dfrac{\text{resto}}{\text{divisor}} para binário: multiplicar r por 2, anotar a parte inteira (0 ou 1) como o próximo dígito binário, e repetir com a parte fracionária resultante. Se uma mesma fração reaparecer, a expansão é periódica a partir daí.
Fazendo isso para r_0=\dfrac{9}{13}:
\begin{array}{rll} r_0=\dfrac{9}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{18}{13}=1+\dfrac{5}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_1=\dfrac{5}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{10}{13}=0+\dfrac{10}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_2=\dfrac{10}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{20}{13}=1+\dfrac{7}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_3=\dfrac{7}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{14}{13}=1+\dfrac{1}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_4=\dfrac{1}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{2}{13}=0+\dfrac{2}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_5=\dfrac{2}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{4}{13}=0+\dfrac{4}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_6=\dfrac{4}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{8}{13}=0+\dfrac{8}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_7=\dfrac{8}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{16}{13}=1+\dfrac{3}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_8=\dfrac{3}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{6}{13}=0+\dfrac{6}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_9=\dfrac{6}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{12}{13}=0+\dfrac{12}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }0\\\ r_{10}=\dfrac{12}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{24}{13}=1+\dfrac{11}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_{11}=\dfrac{11}{13}&\xrightarrow{\times 2}&\dfrac{22}{13}=1+\dfrac{9}{13}\quad\Rightarrow\text{bit }1\\\ r_{12}=\dfrac{9}{13}&\text{(volta ao }r_0\text{)} \end{array}
Os bits obtidos, em ordem, são
1,\;0,\;1,\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;1
e então repetem. Portanto a parte fracionária binária é periódica de comprimento 12:
\frac{9}{13} = 0.(101100010011)_2 \quad\text{(repetição periódica do bloco }101100010011).çãó
Assim o resultado completo em binário é
10001100.(101100010011)_2\\ \text{(periódico)}.ó

Passo 6

Converter a representação binária periódica para octal (explicando por que é simples aqui)\n
Regra prática: agrupar bits de 3 em 3 (a partir do ponto para ambos os lados) e transformar cada tripla em um dígito octal. Como o bloco periódico binário tem comprimento 12, que é múltiplo de 3, ele se ajusta perfeitamente em grupos de 3 e a repetição em octal também será periódica com período 12/3=4 dígitos octais.
  • Parte inteira: 10001100_2. Agrupar em triplas da direita:
10001100_2 = \underbrace{010}_{2}\;\underbrace{001}_{1}\;\underbrace{100}_{4}\qquad\Rightarrow 214_8.
(Obs.: foi necessário pôr um zero à esquerda para completar a primeira tripla.)
  • Parte fracionária periódica binária (um bloco): 101100010011. Agrupando em triplas da esquerda:
101\;100\;010\;011 \quad\Rightarrow\quad 5,\;4,\;2,\;3.
Logo a parte fracionária em octal é o bloco periódico (5423)_8.
Portanto, em octal:
214.(5423)_8 \quad\text{(o bloco }5423\text{ repete)}.

Passo 7

Converter para decimal (apresentar fração exata e notação decimal repetida)\n
Já vimos que em decimal o número é exatamente a fração
\frac{1829}{13}=140+\frac{9}{13}.
A expansão decimal de \dfrac{9}{13} é periódica; sabendo que 9/13\approx0{,}6923076923\ldots com período 692307 (6 dígitos). Então em decimal:
\frac{1829}{13}=140{,}692307692307\ldots = 140.(692307)_{10}\\ \text{(periódico)}.ó

Resposta

10001100.(101100010011)_{2} (parte periódica de 12 bits: 101100010011)
214.(5423)_{8} (parte periódica em octal: 5423)
\dfrac{1829}{13}=140{,}\overline{692307}_{10} (aprox. 140{,}6923076923\ldots)

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