Resolva:
111111111111/11111
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá a divisão entre as sequências de uns: 111111111111 e 11111. Como o pedido é “Transformar o resultado para Octal e Decimal”, faz sentido interpretar os números fornecidos como escritos em base binária (caso contrário já estariam em decimal e não faria sentido pedir “transformar para decimal”). Portanto vou assumir que os valores estão em base 2 e resolver:
  • Numerador (em binário): 111111111111_2.
  • Denominador (em binário): 11111_2.
    O que se pede:
  • Calcular o resultado da divisão (no sentido inteiro: quociente e resto).
  • Converter o resultado pedido para a base octal e para a base decimal (apresentar forma exata/decimal).

Passo 2

Primeiro é prático converter essas strings binárias para números decimais para fazer a divisão. Há uma fórmula simples para uma sequência de n uns em base 2:
\underbrace{11\ldots1}_{n\\ \text{uns}}_2 = 2^n-1.
Aplicando:
111111111111_2 = 2^{12}-1 = 4096-1 = 4095,
11111_2 = 2^{5}-1 = 32-1 = 31.
Portanto, em decimal temos a divisão 4095 \div 31.

Passo 3

Agora fazemos a divisão inteira 4095 por 31. Faço por partes mostrando as multiplicações relevantes:
31\times100 = 3100,
resta 4095-3100=995.
31\times30 = 930,
resta 995-930=65.
31\times2 = 62,
resta 65-62=3.
Somando os fatores: 100+30+2=132. Então
31\times132 = 4092,
e o resto é
4095-4092 = 3.
Logo o quociente inteiro é 132 e o resto é 3. Em forma de número racional:
\frac{4095}{31} = 132 + \frac{3}{31}.

Passo 4

Converter o quociente inteiro 132_{10} de volta para binário (para checar a relação com a divisão em binário):
  • Podemos decompor 132 = 128 + 4 = 2^7 + 2^2.
    Portanto em binário:
132_{10} = 10000100_2.
O resto 3_{10} em binário é 11_2. Assim, na divisão binária 111111111111_2 \div 11111_2 o quociente inteiro é 10000100_2 com resto 11_2.

Passo 5

Conversão do quociente 132_{10} para octal:
Fazendo divisões sucessivas por 8:
132 \div 8 = 16\\ \text{resto}\\\ 4,
16 \div 8 = 2\\ \text{resto}\\\ 0,
2 \div 8 = 0\\ \text{resto}\\\ 2.
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 204_8. Portanto:
132_{10} = 204_8.

Passo 6

Resumo do resultado completo:
  • Como número racional exato: \dfrac{4095}{31}.
  • Como quociente inteiro + resto: 132 com resto 3, isto é 132+\dfrac{3}{31}.
  • Em binário o quociente inteiro é 10000100_2 e o resto é 11_2.
  • Em octal o quociente inteiro é 204_8.
  • Em decimal, em forma mista/exata é 132+\dfrac{3}{31} e em aproximação decimal:
\frac{4095}{31}\approx 132,096774\\ (\text{aprox.}\\ \text{com 6 casas decimais}).

Resposta

204_8
\dfrac{4095}{31}\approx 132,096774

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