Resolva:
1001010101110/11111
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede dividir o número binário 1001010101110 pelo número binário 11111 e depois transformar o resultado (o quociente) para octal e decimal. Informações dadas:
  • Dividendo (binário): 1001010101110.
  • Divisor (binário): 11111.
    O que vamos entregar no final:
  • O quociente em binário (resultado da divisão inteira).
  • O quociente em octal.
  • O quociente em decimal.
    Também iremos anotar o resto da divisão, pois faz parte da operação “resolver” a divisão.

Passo 2

Breve explicação do método (divisão binária passo a passo):
  • A divisão binária funciona como a divisão longa em base 10, mas com dígitos 0 e 1.
  • Toma-se do dividendo a menor quantidade de bits que torne o número maior ou igual ao divisor; coloca-se um 1 no quociente naquela posição e subtrai-se; se for menor, coloca-se 0 e traz-se mais um bit do dividendo.
  • Subtração e comparação são feitas em binário, mas é útil conhecer os valores decimais para checar mentalmente (por exemplo, 11111_2 = 31_{10}).
  • Fórmula útil de conversão binário→decimal: se um número binário tem bits b_n b_{n-1}\dots b_0, seu valor decimal é \sum_{k=0}^{n} b_k 2^{k}.

Passo 3

Converter mentalmente os números para saber as magnitudes (ajuda a checar):
  • Divisor: \,11111_2 = 1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0} = 16+8+4+2+1 = 31_{10}.
  • Dividendo: calcular apenas para conferência (opcional): \,1001010101110_2 = 4096+512+128+32+8+4+2 = 4782_{10}.
    Portanto estamos dividindo 4782_{10} por 31_{10}; o quociente esperado (em decimal) será próximo de 154 (isso vamos confirmar com a divisão binária exata).

Passo 4

Vamos fazer a divisão longa em binário e anotar cada passo (trazer bits, comparar, subtrair):
  • Divisor: \,11111 (5 bits). Começamos lendo os 5 primeiros bits do dividendo e seguindo.
  1. Primeiros 5 bits do dividendo: \,10010_2 = 18_{10}<31_{10}. Então o primeiro bit do quociente é 0.
  2. Trazer o 6.º bit do dividendo (próximo bit é 1): número considerado agora \,100101_2 = 37_{10}\ge31. Coloca-se 1 no quociente nesta posição. Subtração:
100101_2 - 011111_2 = 000110_2
pois 37-31=6. Resto atual: 000110_2 (que é 6_{10}).
3) Trazer o 7.º bit (é 0): resto vira 0001100_2 = 12_{10}, menor que o divisor → quociente recebe 0.
4) Trazer o 8.º bit (é 1): resto vira 00011001_2 = 25_{10}, ainda menor → quociente recebe 0.
5) Trazer o 9.º bit (é 0): resto vira 000110010_2 = 50_{10}\ge31 → quociente recebe 1. Subtração:
110010_2 - 011111_2 = 010011_2
pois 50-31=19. Resto atual: 010011_2 (que é 19_{10}).
6) Trazer o 10.º bit (é 1): resto vira 0100111_2 = 39_{10}\ge31 → quociente recebe 1. Subtração:
100111_2 - 011111_2 = 001000_2
pois 39-31=8. Resto atual: 001000_2 (que é 8_{10}).
7) Trazer o 11.º bit (é 1): resto vira 0010001_2 = 17_{10}<31 → quociente recebe 0.
8) Trazer o 12.º bit (é 1): resto vira 00100011_2 = 35_{10}\ge31 → quociente recebe 1. Subtração:
100011_2 - 011111_2 = 000100_2
pois 35-31=4. Resto atual: 000100_2 (que é 4_{10}).
9) Trazer o 13.º (último) bit (é 0): resto vira 0001000_2 = 8_{10}<31 → quociente recebe 0. Não há mais bits para trazer; a divisão inteira termina.

Passo 5

Anotar os bits do quociente na ordem em que foram decididos:
  • Sequência de bits obtida: 0,\;1,\;0,\;0,\;1,\;1,\;0,\;1,\;0.
  • Isso forma o quociente binário (com 9 posições): \,010011010_2.
  • Podemos remover o zero inicial (não significativo) e escrever o quociente em forma canônica: \,10011010_2.
  • O resto final encontrado foi \,0001000_2 = 1000_2, que em decimal é 8_{10}.

Passo 6

Converter o quociente binário para decimal (mostrando o detalhe das potências de dois):
  • Quociente binário: \,10011010_2. Posicionando potências:
10011010_2 = 1\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}.
Calcule cada termo:
1\cdot2^{7}=128,\quad 1\cdot2^{4}=16,\quad 1\cdot2^{3}=8,\quad 1\cdot2^{1}=2.
Somando:
128+16+8+2 = 154.
Logo o quociente em decimal é \,154_{10}.

Passo 7

Converter o quociente binário para octal (método por agrupamento de 3 bits):
  • Tomar \,10011010_2 e agrupar da direita para a esquerda em trios: padronizar com zeros à esquerda se necessário.
10011010_2 \to \text{padronizando} \;010\;011\;010.
  • Converter cada grupo de 3 bits para um dígito octal:
010_2 = 2_8,\quad 011_2 = 3_8,\quad 010_2 = 2_8.
Portanto o quociente em octal é \,232_8.

Resposta

Quociente (binário): 10011010_2 \nQuociente (octal): 232_8 \nQuociente (decimal): 154_{10} \nResto: 1000_2 = 8_{10}

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