Considere a tabela a seguir:
x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 \ \hline y=e^{x} & 1 & 1,1052 & 1,2214 & 1,3499 & 1,4918 & 1,6487 \
Obter x, tal que e^{x}=1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a forma de Newton para obter P_{2}(y). Construir a tabela de diferenças divididas.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de valores de y=e^{x} para certos x e pede para obter x tal que e^{x}=1,3165 usando interpolação quadrática. Também pede explicitamente a forma de Newton P_{2}(y) e a construção da tabela de diferenças divididas. \n
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5\\hline y=e^{x} & 1 & 1,1052 & 1,2214 & 1,3499 & 1,4918 & 1,6487 \end{array}
O que nos pedem:
\text{Encontrar } x \text{ tal que } e^{x}=1,3165,\text{ usando interpolação quadrática (grau 2) e a forma de Newton }P_{2}(y).çãá

Passo 2

Escolha dos nós para interpolar: como queremos x para o valor y=1,3165, faz sentido interpolar a função inversa x=g(y) (ou seja, tratar y como variável independente e x como função de y). Para interpolação quadrática precisamos de três pontos cujos y estejam próximos de 1,3165. Observando a tabela, os três y mais próximos (em ordem crescente) que cercam 1,3165 são:
\begin{aligned} y_{0}&=1,1052 &\quad&\text{com } x_{0}=0,1,\\\ y_{1}&=1,2214 &\quad&\text{com } x_{1}=0,2,\\\ y_{2}&=1,3499 &\quad&\text{com } x_{2}=0,3. \end{aligned}
Portanto vamos interpolar x em função de y usando os pontos (y_{0},x_{0}), (y_{1},x_{1}), (y_{2},x_{2}).

Passo 3

Apresento a forma de Newton para o polinômio interpolador de grau 2 em y. Se f é a função inversa ( f(y)=x), então o polinômio de Newton centrado em y_{0} é:
P_{2}(y)=f[y_{0}]+f[y_{0},y_{1}](y-y_{0})+f[y_{0},y_{1},y_{2}](y-y_{0})(y-y_{1}),
onde
\begin{aligned} f[y_{i}]&=f(y_{i})=x_{i},\\\ f[y_{i},y_{j}]&=\frac{f(y_{j})-f(y_{i})}{y_{j}-y_{i}}\quad ( \text{diferença dividida de primeira ordem} ),\\\ f[y_{i},y_{j},y_{k}]&=\frac{f[y_{j},y_{k}]-f[y_{i},y_{j}]}{y_{k}-y_{i}}\quad ( \text{diferença dividida de segunda ordem} ). \end{aligned}çç
Explicando em palavras: f[y_{0},y_{1}] é a “inclinação” entre os pontos em termos de y, e f[y_{0},y_{1},y_{2}] mede a variação dessa inclinação entre os dois intervalos, tudo em termos de y.

Passo 4

Construção da tabela de diferenças divididas (usando os pontos escolhidos). Colocarei as colunas (y_{i},x_{i}), depois as primeiras diferenças divididas e por fim a segunda diferença dividida.
Os dados:
\begin{aligned} y_{0}&=1,1052,\quad &x_{0}&=0,1,\\\ y_{1}&=1,2214,\quad &x_{1}&=0,2,\\\ y_{2}&=1,3499,\quad &x_{2}&=0,3. \end{aligned}
Primeira diferença dividida f[y_{0},y_{1}]:
f[y_{0},y_{1}]=\frac{x_{1}-x_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{0,2-0,1}{1,2214-1,1052}=\frac{0,1}{0,1162}.
Agora calculamos essa divisão manualmente:
\frac{0,1}{0,1162}\approx 0,860585.
Primeira diferença dividida f[y_{1},y_{2}]:
f[y_{1},y_{2}]=\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{0,3-0,2}{1,3499-1,2214}=\frac{0,1}{0,1285}.
Calculando:
\frac{0,1}{0,1285}\approx 0,778210.
Segunda diferença dividida f[y_{0},y_{1},y_{2}]:
f[y_{0},y_{1},y_{2}]=\frac{f[y_{1},y_{2}]-f[y_{0},y_{1}]}{y_{2}-y_{0}} =\frac{0,778210-0,860585}{1,3499-1,1052}.
Calcule os numeradores e denominador:
0,778210-0,860585=-0,082375, \quad y_{2}-y_{0}=1,3499-1,1052=0,2447.
Logo
f[y_{0},y_{1},y_{2}]\approx\frac{-0,082375}{0,2447}\approx -0,336697.
Resumindo a tabela (valores aproximados, suficientes para trabalhar sem calculadora pesada):
\begin{array}{c|c|c|c} y & x=f(y) & f[y_{i},y_{i+1}] & f[y_{i},y_{i+1},y_{i+2}]\\hline 1,1052 & 0,1 & 0,860585 & -0,336697\\\\ 1,2214 & 0,2 & 0,778210 & \\\\ 1,3499 & 0,3 & & \end{array}

Passo 5

Escrever o polinômio de Newton P_{2}(y) com os coeficientes que acabamos de calcular. Lembrando f[y_{0}]=x_{0}=0,1,
P_{2}(y)=0,1+0,860585\,(y-1,1052)-0,336697\,(y-1,1052)(y-1,2214).
Isto é o polinômio interpolador de grau 2 que aproxima x como função de y.

Passo 6

Agora avaliamos P_{2} no valor y=1,3165 (o y dado no enunciado). Primeiro calculemos as diferenças simples:
\begin{aligned} y-y_{0}&=1,3165-1,1052=0,2113,\\\ y-y_{1}&=1,3165-1,2214=0,0951. \end{aligned}
Calcule o termo linear:
0,860585\cdot(y-y_{0})=0,860585\cdot 0,2113\approx 0,181846.
Calcule o termo quadrático:
(y-y_{0})(y-y_{1})=0,2113\cdot 0,0951\approx 0,020094,
-0,336697\cdot 0,020094\approx -0,006768.
Agora some os termos no polinômio:
P_{2}(1,3165)=0,1+0,181846-0,006768\approx 0,275078.
Portanto a estimativa para x tal que e^{x}=1,3165 é aproximadamente 0,275078.

Passo 7

Verificação rápida (para nos dar confiança; não é exigida, mas ajuda a entender): calcule mentalmente e^{0,27508}. Sabendo e^{0,25}\approx 1,284025 e e^{0,025}\approx 1,0253, multiplicando dá cerca de 1,2840\cdot 1,0253\approx 1,3165. Isso confirma que nossa interpolação produziu um x coerente com y=1,3165.

Resposta

x\approx 0,27508

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