Considere a tabela a seguir:
x & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 \ \hline y=e^{x} & 1 & 1,1052 & 1,2214 & 1,3499 & 1,4918 & 1,6487 \
Obter
, tal que
, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a forma de Newton para obter
. Construir a tabela de diferenças divididas.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela de valores de
para certos
e pede para obter
tal que
usando interpolação quadrática. Também pede explicitamente a forma de Newton
e a construção da tabela de diferenças divididas. \n
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
O que nos pedem:
Passo 2
Escolha dos nós para interpolar: como queremos
para o valor
, faz sentido interpolar a função inversa
(ou seja, tratar
como variável independente e
como função de
). Para interpolação quadrática precisamos de três pontos cujos
estejam próximos de
. Observando a tabela, os três
mais próximos (em ordem crescente) que cercam
são:
Portanto vamos interpolar
em função de
usando os pontos
.
Passo 3
Apresento a forma de Newton para o polinômio interpolador de grau 2 em
. Se
é a função inversa (
), então o polinômio de Newton centrado em
é:
onde
Explicando em palavras:
é a “inclinação” entre os pontos em termos de
, e
mede a variação dessa inclinação entre os dois intervalos, tudo em termos de
.
Passo 4
Construção da tabela de diferenças divididas (usando os pontos escolhidos). Colocarei as colunas
, depois as primeiras diferenças divididas e por fim a segunda diferença dividida.
Os dados:
Primeira diferença dividida
:
Agora calculamos essa divisão manualmente:
Primeira diferença dividida
:
Calculando:
Segunda diferença dividida
:
Calcule os numeradores e denominador:
Logo
Resumindo a tabela (valores aproximados, suficientes para trabalhar sem calculadora pesada):
Passo 5
Escrever o polinômio de Newton
com os coeficientes que acabamos de calcular. Lembrando
,
Isto é o polinômio interpolador de grau 2 que aproxima
como função de
.
Passo 6
Agora avaliamos
no valor
(o
dado no enunciado). Primeiro calculemos as diferenças simples:
Calcule o termo linear:
Calcule o termo quadrático:
Agora some os termos no polinômio:
Portanto a estimativa para
tal que
é aproximadamente
.
Passo 7
Verificação rápida (para nos dar confiança; não é exigida, mas ajuda a entender): calcule mentalmente
. Sabendo
e
, multiplicando dá cerca de
. Isso confirma que nossa interpolação produziu um
coerente com
.