Resolva:
\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. O conteúdo aqui é resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem por meio da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada trocando y por e^{rx}:
r^2 + 2 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes
r = \pm i\sqrt{2}.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = \pm i\sqrt{2}, a solução geral é
y(x) = A\cos\bigl(\sqrt{2}x\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{2}x\bigr),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada de y(x) para aplicar y'(0)=-1:
y'(x) = -A\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}x\bigr) + B\sqrt{2}\,\cos\bigl(\sqrt{2}x\bigr).

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
  1. Em x=0, \sin(0)=0 e \cos(0)=1 dão
y(0)=A=2.
  1. Também em x=0,
y'(0)=B\sqrt{2}=-1 \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Substituindo A=2 e B=-\tfrac1{\sqrt{2}} na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = 2\cos\bigl(\sqrt{2}x\bigr) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}x\bigr).

Resposta

\displaystyle y(x)=2\cos\bigl(\sqrt{2}x\bigr)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}x\bigr)

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