Resolva:
\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+9 y=0 \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = 0
e as condições iniciais em x=\tfrac{\pi}{2}:
y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2,\quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Conteúdo: resolução de EDOs homogêneas usando raízes complexas do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
r^2 + 9 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes complexas
r = \pm 3\,i.

Passo 3

Para raízes r=\pm 3i, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\cos(3x) + C_{2}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 4

Derivamos para usar a condição em y':
y'(x) = -3\,C_{1}\sin(3x) + 3\,C_{2}\cos(3x).

Passo 5

Aplicamos y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2. Como \cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 e \sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1,
y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot(-1) = -C_{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -2.

Passo 6

Aplicamos y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Como \sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1 e \cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -3\,C_{1}\cdot(-1) + 3\,C_{2}\cdot 0 = 3\,C_{1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = \tfrac{1}{3}.

Passo 7

Substituindo C_{1}=\tfrac{1}{3} e C_{2}=-2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = \tfrac{1}{3}\cos(3x) \;-\; 2\sin(3x).

Resposta

y(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) \;-\; 2\sin(3x).

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