Resolva:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 10y = 0.
O conteúdo é método do polinômio característico: transformamos a EDO numa equação algébrica em r, resolvemos para achar as raízes e, a partir delas, escrevemos a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y \sim e^{rx}:
r^2 + 2r + 10 = 0.
Para resolver, calculamos o discriminante \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot10 = 4 - 40 = -36. Como \Delta<0, teremos raízes complexas.

Passo 3

As raízes do polinômio são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = -1 \pm 3\,\mathrm{i}.
Quando as raízes são r=\alpha\pm\beta\,\mathrm{i}, a solução geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha=-1 e \beta=3.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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