Resolva em C as equações a seguir.
(x-5)\left(x^{2}+1\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
(x-5)\left(x^{2}+1\right)=0.
Informações dadas:
\; (x-5) e \; (x^{2}+1) são os dois fatores cujo produto é zero.
O que se pede: encontrar todos os números complexos x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental do produto zero (zero-product property): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos,
AB=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0 \;\text{ ou }\; B=0.
Aqui aplicamos essa propriedade aos fatores x-5 e x^{2}+1. Isso nos dá dois casos a resolver separadamente:
x-5=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}+1=0.

Passo 3

Resolver o primeiro caso \;x-5=0.
Isolando x obtemos
x=5.
Explicação rápida: subtraindo 5 dos dois lados da igualdade obtemos o valor de x. Esse é um número real, também pertencente a \mathbb{C}.

Passo 4

Resolver o segundo caso \;x^{2}+1=0.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x^{2}=-1.
Aqui entramos na parte de números complexos: definimos a unidade imaginária i pela relação
i^{2}=-1.
Portanto as soluções de x^{2}=-1 são as duas raízes quadradas de -1, isto é
x = i \quad\text{ou}\quad x = -i.
Observação didática: quando temos x^{2}=a com a real negativo, na reta dos reais não existem soluções, mas em \mathbb{C} existirá sempre um par de soluções conjugadas \pm\sqrt{a}, que neste caso é \pm i.

Passo 5

Verificação rápida por substituição (checar sempre que der tempo na prova):
Para x=5:
(5-5)(5^{2}+1)=0\cdot(25+1)=0.
Para x=i:
(i-5)(i^{2}+1)=(i-5)(-1+1)=(i-5)\cdot 0=0.
Para x=-i:
(-i-5)((-i)^{2}+1)=(-i-5)(-1+1)=(-i-5)\cdot 0=0.
Todas satisfazem a equação, então são raízes válidas.

Passo 6

Resumo e comentário final: o polinômio é de grau 3 (produto de um fator linear e um quadrático), então contando multiplicidades deve ter três raízes no campo complexo. Encontramos as três raízes distintas:
x=5,\quad x=i,\quad x=-i.

Resposta

x=5
x=i
x=-i

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