Resolva em
as equações a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas:
e
são os dois fatores cujo produto é zero.
O que se pede: encontrar todos os números complexos que satisfazem a igualdade acima.
O que se pede: encontrar todos os números complexos
Passo 2
Usamos a propriedade fundamental do produto zero (zero-product property): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos,
Aqui aplicamos essa propriedade aos fatores
e
. Isso nos dá dois casos a resolver separadamente:
Passo 3
Resolver o primeiro caso
.
Isolando obtemos
Isolando
Explicação rápida: subtraindo
dos dois lados da igualdade obtemos o valor de
. Esse é um número real, também pertencente a
.
Passo 4
Resolver o segundo caso
.
Subtraindo dos dois lados:
Subtraindo
Aqui entramos na parte de números complexos: definimos a unidade imaginária
pela relação
Portanto as soluções de
são as duas raízes quadradas de
, isto é
Observação didática: quando temos
com
real negativo, na reta dos reais não existem soluções, mas em
existirá sempre um par de soluções conjugadas
, que neste caso é
.
Passo 5
Verificação rápida por substituição (checar sempre que der tempo na prova):
Para :
Para
Para
:
Para
:
Todas satisfazem a equação, então são raízes válidas.
Passo 6
Resumo e comentário final: o polinômio é de grau
(produto de um fator linear e um quadrático), então contando multiplicidades deve ter três raízes no campo complexo. Encontramos as três raízes distintas: