Exercício 4. Calcule usando coordenadas cilíndricas a seguinte integral \iiint_{\mathrm{E}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d \mathrm{~V}, onde E é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 restrita a y \geq 0. Justifique com riqueza de detalhes seus argumentos!.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V},
onde \mathrm{E} é a região dentro da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; e restrita a \;y\ge 0. Informações dadas e perguntas claras:
A região \mathrm{E} é a parte da bola de raio 2 centrada na origem que fica do lado onde y é não negativo (ou seja, a “meia-bola” com y\ge0).
O integrando é x^{2}+y^{2}.
O enunciado pede que eu calcule essa integral usando coordenadas cilíndricas e justifique cada passo com detalhes.
Passo 2
Vamos apresentar as coordenadas cilíndricas e como transformar a integral. Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy e z é a altura. A razão pela qual adotamos essas coordenadas é que a expressão x^{2}+y^{2} fica muito simples: ela se transforma em
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
d\mathrm{V}=r\,dr\,d\theta\,dz.
Explico por que: o fator r é o Jacobiano da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z); geometricamente, pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta. Então o integrando (x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} vira r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.
Passo 3
Agora vamos descrever a região \mathrm{E} em coordenadas cilíndricas. A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; fica, em cilíndricas, \;r^{2}+z^{2}=4\;. Para pontos dentro da esfera temos \;r^{2}+z^{2}\le4\;, ou seja, para um dado r fixo, z varia entre
Como \mathrm{E} exige y\ge0, e em cilíndricas y=r\sin\theta, temos r\sin\theta\ge0. Para r\ge0 isso equivale a \sin\theta\ge0, logo
\theta\in[0,\pi].
Finalmente r varia dos valores possíveis dentro da esfera no plano transversal: r vai de 0 até o raio máximo onde z=0, isto é r\le 2. Portanto os limites são
Interpretação rápida: o resultado é positivo (esperado, integrando algo não negativo sobre uma região de volume), e fizemos a conta sem usar cálculo esférico — apenas coordenadas cilíndricas e uma substituição padrão.