Exercício 4. Calcule usando coordenadas cilíndricas a seguinte integral \iiint_{\mathrm{E}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d \mathrm{~V}, onde E é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 restrita a y \geq 0. Justifique com riqueza de detalhes seus argumentos!.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V},
onde \mathrm{E} é a região dentro da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; e restrita a \;y\ge 0. Informações dadas e perguntas claras:
  • A região \mathrm{E} é a parte da bola de raio 2 centrada na origem que fica do lado onde y é não negativo (ou seja, a “meia-bola” com y\ge0).
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
  • O enunciado pede que eu calcule essa integral usando coordenadas cilíndricas e justifique cada passo com detalhes.

Passo 2

Vamos apresentar as coordenadas cilíndricas e como transformar a integral. Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy e z é a altura. A razão pela qual adotamos essas coordenadas é que a expressão x^{2}+y^{2} fica muito simples: ela se transforma em
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
d\mathrm{V}=r\,dr\,d\theta\,dz.
Explico por que: o fator r é o Jacobiano da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z); geometricamente, pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta. Então o integrando (x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} vira r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Agora vamos descrever a região \mathrm{E} em coordenadas cilíndricas. A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; fica, em cilíndricas, \;r^{2}+z^{2}=4\;. Para pontos dentro da esfera temos \;r^{2}+z^{2}\le4\;, ou seja, para um dado r fixo, z varia entre
z=-\sqrt{4-r^{2}}\quad\text{e}\quad z=+\sqrt{4-r^{2}}.
Como \mathrm{E} exige y\ge0, e em cilíndricas y=r\sin\theta, temos r\sin\theta\ge0. Para r\ge0 isso equivale a \sin\theta\ge0, logo
\theta\in[0,\pi].
Finalmente r varia dos valores possíveis dentro da esfera no plano transversal: r vai de 0 até o raio máximo onde z=0, isto é r\le 2. Portanto os limites são
0\le\theta\le\pi,\qquad 0\le r\le 2,\qquad -\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.

Passo 4

Com isso podemos escrever a integral na ordem dz\,dr\,d\theta:
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
Expliquei antes que r^{3} vem de r^{2} (o integrando) vezes r (o Jacobiano).

Passo 5

Integramos primeiro em z, porque o integrando r^{3} não depende de z, então a integral em z é simples:
\int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\,dz = r^{3}\cdot\bigl( \sqrt{4-r^{2}} - (-\sqrt{4-r^{2}})\bigr) = 2\,r^{3}\sqrt{4-r^{2}}.
Substituindo na integral tripla:
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} 2\,r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 6

A integral em \theta é imediata, porque o integrando não depende de \theta. Portanto
\int_{0}^{\pi}\,d\theta = \pi,
e obtemos
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} = 2\pi \int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr.
Agora ficou uma integral em r só. Vou calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr. Fazemos a substituição conveniente
u = 4 - r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = -2r\,dr.
Reescrevemos r^{3}\,dr como r^{2}\cdot r\,dr e note que r^{2}=4-u. Assim
r^{3}\,dr = (r^{2})\cdot r\,dr = (4-u)\cdot r\,dr.
Com r\,dr = -\dfrac{du}{2} obtemos
\int_{r=0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \int_{u=4}^{0} (4-u)\sqrt{u}\,\left(-\dfrac{du}{2}\right).
Trocando os limites para ordem crescente (multiplicando por -1) dá
\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \dfrac{1}{2}\int_{u=0}^{4} (4-u)u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{4} \bigl(4u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{4} 4u^{1/2}\,du = 4\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{4} = \frac{8}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{4},
\int_{0}^{4} u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}u^{5/2}\Big|_{0}^{4}.
Substituindo e lembrando do fator \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{4} - \frac{2}{5}\,u^{5/2}\Big|_{0}^{4}\right).
Calculamos u^{3/2} e u^{5/2} em u=4: como \sqrt{4}=2, temos 4^{3/2}=8 e 4^{5/2}=32. Assim
\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}\cdot 8 - \frac{2}{5}\cdot 32\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{64}{3} - \frac{64}{5}\right).
Colocando em denominador comum 15:
\frac{64}{3}-\frac{64}{5} = \frac{64(5-3)}{15} = \frac{128}{15},
então
\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{128}{15} = \frac{64}{15}.

Passo 9

Voltando à integral total, lembramos que havia um fator 2\pi multiplicando essa integral radial. Logo
\iiint_{\mathrm{E}}(x^{2}+y^{2})\,d\mathrm{V} = 2\pi\cdot \frac{64}{15} = \frac{128\pi}{15}.
Interpretação rápida: o resultado é positivo (esperado, integrando algo não negativo sobre uma região de volume), e fizemos a conta sem usar cálculo esférico — apenas coordenadas cilíndricas e uma substituição padrão.

Resposta

\displaystyle \frac{128\pi}{15}

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