Resolva em cada caso, o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=x^{2}-2 e y(1)=4 / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=x^{2}-2
com a condição
y(1)=\frac{4}{3}.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem em que o segundo membro depende só de x, então podemos integrar diretamente para encontrar a solução geral.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x)=\int\bigl(x^{2}-2\bigr)\,dx =\int x^{2}\,dx \;-\; \int 2\,dx =\frac{1}{3}x^{3}-2x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para achar C, usamos a condição inicial y(1)=\tfrac{4}{3}:
y(1)=\frac{1}{3}\cdot1^{3}-2\cdot1+C =\frac{1}{3}-2+C =-\frac{5}{3}+C \stackrel{!}{=}\frac{4}{3}.
Então
-\frac{5}{3}+C=\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=3.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x+3.

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