Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
x(x-1) < 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade \,x(x-1)<0\, e escrever a resposta em notação de intervalos. As informações que temos são:
  • A expressão é um produto de dois fatores: \,x e \,x-1.
  • A desigualdade é estrita (sinal <), ou seja, as soluções não podem tornar o produto igual a zero.

Passo 2

Vamos achar os pontos onde o produto fica nulo (essas são as “fronteiras” naturais da desigualdade). Resolver
x(x-1)=0
significa que ou \,x=0 ou \,x-1=0. Portanto os zeros são
x=0\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 3

Regra útil: o produto de dois números é negativo exatamente quando os dois fatores têm sinais opostos (um positivo e o outro negativo). Como temos dois fatores simples, basta analisar o sinal de cada fator em intervalos determinados pelos zeros \,0 e \,1.

Passo 4

Dividimos a reta real em três intervalos pelos pontos 0 e 1:
(-\infty,0),\qquad (0,1),\qquad (1,\infty).
Vamos testar o sinal dos fatores em cada intervalo escolhendo um ponto de prova em cada um.
  • Para \,x\in(-\infty,0), tome x=-1. Então \,x=-1<0 (fator \,x é negativo) e \,x-1=-2<0 (fator \,x-1 também é negativo). Produto: negativo \times negativo = positivo. Portanto o produto NÃO é negativo nesse intervalo.
  • Para \,x\in(0,1), tome x=\tfrac{1}{2}. Então \,x=\tfrac{1}{2}>0 (fator \,x é positivo) e \,x-1=-\tfrac{1}{2}<0 (fator \,x-1 é negativo). Produto: positivo \times negativo = negativo. Portanto o produto é negativo nesse intervalo.
  • Para \,x\in(1,\infty), tome x=2. Então \,x=2>0 e \,x-1=1>0. Produto: positivo \times positivo = positivo. Portanto o produto NÃO é negativo nesse intervalo.

Passo 5

Conclusão lógica: a desigualdade \,x(x-1)<0\, é satisfeita exatamente quando os fatores têm sinais opostos, o que ocorre apenas para valores de x estritamente entre as raízes 0 e 1. Um jeito alternativo de ver isso é lembrar que a função quadrática \,f(x)=x(x-1)=x^2-x\, tem coeficiente dominante positivo, portanto forma uma parábola voltada para cima e fica abaixo do eixo x somente entre as raízes.

Resposta

(0,1)

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