Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
e escrever a resposta em notação de intervalos. As informações que temos são:
- A expressão é um produto de dois fatores:
e . - A desigualdade é estrita (sinal
), ou seja, as soluções não podem tornar o produto igual a zero.
Passo 2
Vamos achar os pontos onde o produto fica nulo (essas são as “fronteiras” naturais da desigualdade). Resolver
significa que ou
ou
. Portanto os zeros são
Passo 3
Regra útil: o produto de dois números é negativo exatamente quando os dois fatores têm sinais opostos (um positivo e o outro negativo). Como temos dois fatores simples, basta analisar o sinal de cada fator em intervalos determinados pelos zeros
e
.
Passo 4
Dividimos a reta real em três intervalos pelos pontos
e
:
Vamos testar o sinal dos fatores em cada intervalo escolhendo um ponto de prova em cada um.
-
Para
, tome . Então (fator é negativo) e (fator também é negativo). Produto: negativo negativo = positivo. Portanto o produto NÃO é negativo nesse intervalo. -
Para
, tome . Então (fator é positivo) e (fator é negativo). Produto: positivo negativo = negativo. Portanto o produto é negativo nesse intervalo. -
Para
, tome . Então e . Produto: positivo positivo = positivo. Portanto o produto NÃO é negativo nesse intervalo.
Passo 5
Conclusão lógica: a desigualdade
é satisfeita exatamente quando os fatores têm sinais opostos, o que ocorre apenas para valores de
estritamente entre as raízes
e
. Um jeito alternativo de ver isso é lembrar que a função quadrática
tem coeficiente dominante positivo, portanto forma uma parábola voltada para cima e fica abaixo do eixo
somente entre as raízes.