Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe. \lim _{(x, y, z, w, t) \rightarrow(0,0,0,0,0)} \frac{x y z w t}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado\n
Pede-se o limite
\lim_{(x,y,z,w,t)\to(0,0,0,0,0)} \frac{x y z w t}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}.
As informações: as cinco variáveis x,y,z,w,t tendem simultaneamente a 0. Não há outras restrições. Meu objetivo é determinar se esse limite existe e, se existir, encontrar o valor.
Passo 2
Estratégia informal e ideia principal (sem resolver ainda)\n
A expressão tem um numerador com produto de cinco variáveis (ordem 5 em tamanho) e um denominador que é soma de quadrados (ordem 2). Intuitivamente, o numerador tende a zero “mais rápido” que o denominador, então é plausível que o quociente vá a zero.
Vou transformar essa intuição em uma desigualdade rigorosa usando a norma euclidiana
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}},
que mede a distância do ponto (x,y,z,w,t) até a origem. Essa norma é muito útil porque relaciona cada coordenada com r.
Passo 3
Relacionar cada coordenada com r\n
Por definição de r temos, para cada coordenada,
|x|\le r,\quad |y|\le r,\quad |z|\le r,\quad |w|\le r,\quad |t|\le r.
Explicando: r é a raiz da soma dos quadrados; portanto |x|=\sqrt{x^{2}}\le\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}=r. O mesmo vale para as outras coordenadas.
Passo 4
Majorando o valor absoluto do numerador usando r\n
Usando as desigualdades do passo anterior,
|x y z w t| = |x|\;|y|\;|z|\;|w|\;|t| \le r\cdot r\cdot r\cdot r\cdot r = r^{5}.
Então o numerador em valor absoluto é no máximo r^{5}.
Passo 5
Obter uma desigualdade para o quociente e aplicar o teorema do confronto (squeeze)\n
O denominador é exatamente r^{2}, pois
x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}=r^{2}.
Assim, para o valor absoluto da função temos
\left|\frac{x y z w t}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}\right| = \frac{|x y z w t|}{r^{2}} \le \frac{r^{5}}{r^{2}} = r^{3}.
Agora, quando (x,y,z,w,t)\to(0,0,0,0,0) a norma r\to 0, logo r^{3}\to 0. Como o valor absoluto da função está preso entre 0 e r^{3}, pelo Teorema do Confronto segue que a função tende a 0.
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}<\delta então
\left|\frac{x y z w t}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}\right|<\varepsilon.
Usando a desigualdade do passo 5, se r<\delta então
\left|\frac{x y z w t}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+t^{2}}\right|\le r^{3}<\delta^{3}.
Basta escolher \delta=\varepsilon^{1/3}. Assim r<\delta implica o quociente menor que \delta^{3}=\varepsilon. Portanto a definição \varepsilon-\delta é satisfeita e o limite é 0.
Passo 7
Comentário final e incentivo\n
Conclusão: a desigualdade com a norma é uma técnica padrão e muito útil em limites multivariáveis: comparar coordenadas com a norma e obter uma potência de r que vai a zero. Se ficar nervoso na prova, lembra: defina r como a raiz da soma dos quadrados e veja como cada coordenada é no máximo r; daí é só comparar ordens (potências) e aplicar o confronto. Boa — já era!