Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe. \lim _{(x, y, z, w) \rightarrow(0,0,0,0)} \frac{x y z w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y,z,w)\to(0,0,0,0)} \frac{x y z w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.
Informações dadas e objetivo:
A função em questão é f(x,y,z,w)=\dfrac{x y z w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}, definida sempre que o denominador for diferente de zero.
Quer-se determinar se o limite existe quando (x,y,z,w) tende ao ponto (0,0,0,0) e, em caso afirmativo, encontrar seu valor.
Todos os quatro números x,y,z,w tendem a zero simultaneamente (não apenas um de cada vez).
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): uma forma comum de provar que limites multivariáveis são zero é mostrar uma desigualdade do tipo
\left|\frac{x y z w}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}\right|\le g(x,y,z,w)
onde g(x,y,z,w) é uma função não negativa que tende a 0 quando (x,y,z,w)\to(0,0,0,0). Então, pelo teorema do sanduíche (squeeze), o limite do numerador sobre o denominador será 0. Vou construir uma desigualdade desse tipo usando uma desigualdade simples para produtos: para quaisquer números reais a e b vale
|ab|\le \frac{a^{2}+b^{2}}{2}.
Vou demonstrar e depois aplicar repetidamente.
Passo 3
Demonstração da desigualdade básica |ab|\le \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}:
Considere (a-b)^{2}\ge 0. Expandindo,
Tomando valor absoluto em ab (já que 2|ab|\le 2ab ou 2|ab|\le -2ab dependendo do sinal, a desigualdade em termos de valor absoluto também é válida) obtemos
|ab|\le \frac{a^{2}+b^{2}}{2}.
Isto é uma desigualdade muito útil para controlar produtos por soma de quadrados.
Passo 4
Aplicação da desigualdade em pares para controlar o produto de quatro fatores:
Primeiro aplique a desigualdade a x e y:
|xy|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Aplicando novamente a z e w:
|zw|\le \frac{z^{2}+w^{2}}{2}.
Multiplicando as duas desigualdades (ambos os lados não negativos),
Simplificar a expressão à direita em função de S:=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}:
Se definirmos A:=x^{2}+y^{2} e B:=z^{2}+w^{2}, então A,B\ge 0 e A+B=S. Para números não negativos A e B vale a desigualdade
AB\le \frac{(A+B)^{2}}{4},
porque (A-B)^{2}\ge 0 implica A^2+B^2\ge 2AB e, rearranjando, AB\le (A+B)^2/4. Aplicando isso ao produto acima:
(x^{2}+y^{2})(z^{2}+w^{2}) = AB \le \frac{(A+B)^{2}}{4} = \frac{S^{2}}{4}.
Conclusão pelo teorema do sanduíche:
Quando (x,y,z,w)\to(0,0,0,0) temos S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\to 0. Pela desigualdade do
Passo 9
Observação intuitiva: mesmo se cada variável for pequena, o produto de quatro delas é “muito menor” que a soma dos quadrados, então a razão tende a zero.