Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
\left(x{2}+y{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}-x y\right)\,dy=0.
Informações dadas e coisas que podemos anotar sem resolver ainda:
M(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}-x y,
e a equação pode ser reescrita como
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-x y}.
O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) y(x) que satisfaça essa relação.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata (um passo padrão para ver se dá pra integrar diretamente). Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x-y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a equação não é exata, então não podemos obter uma primitiva direta F(x,y)=C a partir de M\,dx+N\,dy=0 sem transformar a equação.

Passo 3

Agora observamos uma propriedade útil: as funções M e N são polinômios homogêneos do mesmo grau. Vou explicar o que isso significa de forma bem simples: uma função f(x,y) é homogênea de grau n se, ao multiplicar (x,y) por um fator t, a função escala como t^{n}, isto é f(tx,ty)=t^{n}f(x,y). Aqui tanto M quanto N são soma de termos de grau 2 (ex.: x^{2},y^{2},xy), então são homogêneas de grau 2. Quando M e N têm o mesmo grau, uma substituição clássica e eficiente é
y=vx,
onde v=v(x). Essa substituição transforma a equação em uma para v que geralmente é separável. Não se preocupe com o nome técnico — pense: expressamos y em função de x por v, isso simplifica porque os fatores em x se cancelam.

Passo 4

Aplicamos a substituição y=vx. Primeiro calculamos a derivada de y em relação a x:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituímos na forma \frac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-x y}:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{x^{2}-x\cdot v x}.
Agora simplificamos as potências de x (note que x\neq0 em regiões onde a substituição faz sentido; depois podemos considerar casos separados se necessário):
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}.
Em seguida isolamos o termo x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v.
Fazemos a álgebra do lado direito para deixar em forma mais simples. Colocando sob o mesmo denominador (1-v):
-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v=\frac{-(1+v^{2})-v(1-v)}{1-v}=\frac{-1-v^{2}-v+v^{2}}{1-v}=\frac{-(1+v)}{1-v}.
Logo obtemos a equação separável
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v}{1-v}.

Passo 5

Separamos as variáveis isolando v num lado e x no outro:
\frac{1-v}{1+v}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Aqui eu apenas multipliquei ambos os lados por (1-v)/(1+v) e por dx/x para ficar no formato padrão de separação. Agora dá para integrar ambos os lados.

Passo 6

Integramos os dois lados. Vou mostrar a integral da esquerda com calma, porque é um ponto que costuma confundir:
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv=\int\left(-1+\frac{2}{1+v}\right)\,dv.
Explicando esse passo de decomposição: dividimos (1-v) por (1+v). Fazendo a divisão ou decompondo em termos simples obtemos
\frac{1-v}{1+v}=-1+\frac{2}{1+v},
o que pode ser verificado expandindo o lado direito. Assim
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv=\int(-1)\,dv+2\int\frac{1}{1+v}\,dv=-v+2\ln|1+v|+C_{1}.
A integral do lado direito é simples:
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C_{2}.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma única constante C) obtemos:
-v+2\ln|1+v|=-\ln|x|+C.

Passo 7

Voltamos à variável original, lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
-\frac{y}{x}+2\ln\!\left|1+\frac{y}{x}\right|=-\ln|x|+C.
Podemos juntar os termos logarítmicos para dar uma forma mais compacta. Note que
\ln|x|+2\ln\!\left|1+\frac{y}{x}\right|=\ln\!\left(|x|\left|1+\frac{y}{x}\right|^{2}\right).
Como \left|1+\dfrac{y}{x}\right|=\dfrac{|x+y|}{|x|}, temos
|x|\left|1+\frac{y}{x}\right|^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{|x|}.
Portanto uma forma conveniente da solução implícita é
-\frac{y}{x}+\ln\!\left(\frac{(x+y)^{2}}{x}\right)=C,
onde, para simplificar a notação, removemos barras de valor absoluto nos lugares usuais sabendo que o logarítmo exige argumentos positivos e isso é tratado pela constante de integração quando necessário. Esta expressão é a solução geral implícita da equação diferencial.

Resposta

\displaystyle -\frac{y}{x}+\ln\!\left(\frac{(x+y)^{2}}{x}\right)=C

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