Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} em geral, a equação não é exata, então não podemos obter uma primitiva direta F(x,y)=C a partir de M\,dx+N\,dy=0 sem transformar a equação.
Passo 3
Agora observamos uma propriedade útil: as funções M e N são polinômios homogêneos do mesmo grau. Vou explicar o que isso significa de forma bem simples: uma função f(x,y) é homogênea de grau n se, ao multiplicar (x,y) por um fator t, a função escala como t^{n}, isto é f(tx,ty)=t^{n}f(x,y). Aqui tanto M quanto N são soma de termos de grau 2 (ex.: x^{2},y^{2},xy), então são homogêneas de grau 2. Quando M e N têm o mesmo grau, uma substituição clássica e eficiente é
y=vx,
onde v=v(x). Essa substituição transforma a equação em uma para v que geralmente é separável. Não se preocupe com o nome técnico — pense: expressamos y em função de x por v, isso simplifica porque os fatores em x se cancelam.
Passo 4
Aplicamos a substituição y=vx. Primeiro calculamos a derivada de y em relação a x:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituímos na forma \frac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-x y}:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{x^{2}-x\cdot v x}.
Agora simplificamos as potências de x (note que x\neq0 em regiões onde a substituição faz sentido; depois podemos considerar casos separados se necessário):
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}.
Em seguida isolamos o termo x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v.
Fazemos a álgebra do lado direito para deixar em forma mais simples. Colocando sob o mesmo denominador (1-v):
Separamos as variáveis isolando v num lado e x no outro:
\frac{1-v}{1+v}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Aqui eu apenas multipliquei ambos os lados por (1-v)/(1+v) e por dx/x para ficar no formato padrão de separação. Agora dá para integrar ambos os lados.
Passo 6
Integramos os dois lados. Vou mostrar a integral da esquerda com calma, porque é um ponto que costuma confundir:
onde, para simplificar a notação, removemos barras de valor absoluto nos lugares usuais sabendo que o logarítmo exige argumentos positivos e isso é tratado pela constante de integração quando necessário. Esta expressão é a solução geral implícita da equação diferencial.