Qual o maior inteiro que satisfaz a inequação \frac{x-2}{3}-\frac{x-5}{2}>-8 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o maior inteiro que satisfaz a inequação \frac{x-2}{3}-\frac{x-5}{2}>-8?”\n
Informações dadas:
  • A incógnita é \;x\; (um número real qualquer).
  • Temos a inequação com duas frações: \frac{x-2}{3} e \frac{x-5}{2}.
  • O sinal é de desigualdade estrita: > (mais que -8).\n
    Objetivo final: encontrar o maior número inteiro (ou seja, o maior \;x\in\mathbb{Z}\;) que satisfaça essa desigualdade.

Passo 2

Vamos resolver a inequação passo a passo. Ideia matemática usada: para eliminar frações é conveniente multiplicar ambos os lados por um mesmo número comum aos denominadores; se esse número for positivo, a direção da desigualdade não muda. Aqui os denominadores são 3 e 2; o mínimo múltiplo comum é 6. Antes de multiplicar, lembro que \;x\; é uma variável que representa um número desconhecido e todas as operações que fizermos serão aplicadas aos dois lados da desigualdade de maneira válida (desde que respeitem as regras das desigualdades).

Passo 3

Multiplico ambos os lados da desigualdade por 6 (que é positivo, logo a desigualdade permanece com o mesmo sentido):
6\left(\frac{x-2}{3}-\frac{x-5}{2}\right) > 6\cdot(-8).
Agora calcule cada termo: \;6\cdot\frac{x-2}{3}=2(x-2)=2x-4\; e \;6\cdot\frac{x-5}{2}=3(x-5)=3x-15\;. No lado direito \;6\cdot(-8)=-48. Substituindo:
(2x-4)-(3x-15) > -48.

Passo 4

Faço as operações de soma/subtração algébrica à esquerda:
(2x-4)-(3x-15)=2x-4-3x+15=(-x)+11.
Portanto a inequação vira
-x+11>-48.
Agora isolo \;x\;. Primeiro subtraio 11 de ambos os lados:
-x>-48-11,
-x>-59.
Para eliminar o coeficiente -1 multiplico ambos os lados por -1. Lembrete importante: ao multiplicar uma desigualdade por número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Assim:
x<59.

Passo 5

Interpretando o resultado: a solução da inequação para x real é o intervalo \;x<59\; (todos os números menores que 59). Mas o enunciado pede o maior inteiro que satisfaz a desigualdade. Entre os inteiros menores que 59, o maior é 58.\n
Para ter certeza, faço uma verificação rápida substituindo x=58 e x=59 na desigualdade original:
  • Para x=58:
\frac{58-2}{3}-\frac{58-5}{2}=\frac{56}{3}-\frac{53}{2}=\frac{112-159}{6}=\frac{-47}{6}\approx-7,833\dots
E -7,833\dots>-8 é verdadeiro. Então 58 satisfaz.
  • Para x=59:
\frac{59-2}{3}-\frac{59-5}{2}=\frac{57}{3}-\frac{54}{2}=19-27=-8,
e -8>-8 é falso (é igual, não estritamente maior). Então 59 não satisfaz.

Resposta

58

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