Calcule o perímetro de um triângulo, sabendo que os lados têm medidas inteiras e medem
e
Passo 1
O que o problema pede: calcular o perímetro do triângulo.
Informações dadas: os três lados medem ,
e
, e as medidas dos lados são inteiras. Vou usar essas informações para encontrar
e, então, o perímetro.
Informações dadas: os três lados medem
Passo 2
Condições que qualquer tripla de números deve satisfazer para ser lados de um triângulo:
Explicação rápida e intuitiva: um lado não pode ter comprimento zero ou negativo; e se a soma de dois lados fosse menor ou igual ao terceiro, os dois lados juntos não conseguiriam “fechar” com o terceiro formando um triângulo.
Passo 3
Aplicando a condição de positividade aos lados dados:
Intersecando essas três desigualdades obtém-se, por enquanto,
Passo 4
Agora aplico as desigualdades triangulares (cada soma de dois lados maior que o terceiro).
-
. Faço as contas passo a passo:
então
Subtraio
dos dois lados:
Adiciono
:
portanto
-
. Calculo:
então
Subtraindo
dos dois lados fica
que é sempre verdade. Logo esta desigualdade não impõe restrição adicional sobre
.
-
. Calculo:
então
Somando
aos dois lados:
Adicionando
:
portanto
Passo 5
Junto todas as restrições obtidas:
positividade deu e
; desigualdades triangulares deram
e
. A interseção é
positividade deu
Passo 6
Agora uso a informação de que as medidas dos lados são inteiras. Como os lados são
,
e
, para que esses três sejam inteiros é suficiente que
seja inteiro. Vou justificar isso de forma simples e direta: se
e
são inteiros então
e
são inteiros; escrevendo
com
temos
; como
também deve ser inteiro, isso força
a ser par, ou seja
e assim
é inteiro. Portanto
deve ser inteiro.
Passo 7
Combinando
inteiro com a faixa
, os inteiros possíveis são apenas
(Os inteiros 1 e 3 não estão na faixa aberta; 1 é menor que
e 3 é igual ao limite superior excluído.)
Passo 8
Calculo os lados para
:
Verificação rápida:
são todos positivos, inteiros e satisfazem a desigualdade triangular (por exemplo
, etc.). Está tudo consistente.
Passo 9
Calculando o perímetro, que é a soma dos três lados:
Resposta
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