Calcule o perímetro de um triângulo, sabendo que os lados têm medidas inteiras e medem 2 x-1,6-x e 3 x-1

Passo 1

O que o problema pede: calcular o perímetro do triângulo.
Informações dadas: os três lados medem (2x-1), (6-x) e (3x-1), e as medidas dos lados são inteiras. Vou usar essas informações para encontrar x e, então, o perímetro.

Passo 2

Condições que qualquer tripla de números deve satisfazer para ser lados de um triângulo:
\text{(i) cada lado é positivo,}é
\text{(ii) a soma de quaisquer dois lados é maior que o terceiro (desigualdade triangular).}é
Explicação rápida e intuitiva: um lado não pode ter comprimento zero ou negativo; e se a soma de dois lados fosse menor ou igual ao terceiro, os dois lados juntos não conseguiriam “fechar” com o terceiro formando um triângulo.

Passo 3

Aplicando a condição de positividade aos lados dados:
2x-1>0 \implies x>\tfrac{1}{2},
6-x>0 \implies x<6,
3x-1>0 \implies x>\tfrac{1}{3}.
Intersecando essas três desigualdades obtém-se, por enquanto,
x>\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad x<6.

Passo 4

Agora aplico as desigualdades triangulares (cada soma de dois lados maior que o terceiro).
  1. (2x-1)+(6-x)>(3x-1). Faço as contas passo a passo:
(2x-1)+(6-x)=x+5,
então
x+5>3x-1.
Subtraio x dos dois lados:
5>2x-1.
Adiciono 1:
6>2x,
portanto
x<3.
  1. (6-x)+(3x-1)>(2x-1). Calculo:
(6-x)+(3x-1)=2x+5,
então
2x+5>2x-1.
Subtraindo 2x dos dois lados fica
5>-1,
que é sempre verdade. Logo esta desigualdade não impõe restrição adicional sobre x.
  1. (2x-1)+(3x-1)>(6-x). Calculo:
(2x-1)+(3x-1)=5x-2,
então
5x-2>6-x.
Somando x aos dois lados:
6x-2>6.
Adicionando 2:
6x>8,
portanto
x>\tfrac{8}{6}=\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Junto todas as restrições obtidas:
positividade deu x>\tfrac{1}{2} e x<6; desigualdades triangulares deram x>\tfrac{4}{3} e x<3. A interseção é
\tfrac{4}{3}<x<3.

Passo 6

Agora uso a informação de que as medidas dos lados são inteiras. Como os lados são (2x-1), (6-x) e (3x-1), para que esses três sejam inteiros é suficiente que x seja inteiro. Vou justificar isso de forma simples e direta: se 2x-1 e 3x-1 são inteiros então 2x e 3x são inteiros; escrevendo 2x=p com p\in\mathbb{Z} temos x=p/2; como 3x=3p/2 também deve ser inteiro, isso força p a ser par, ou seja p=2n e assim x=n é inteiro. Portanto x deve ser inteiro.

Passo 7

Combinando x inteiro com a faixa \tfrac{4}{3}<x<3, os inteiros possíveis são apenas
x=2.
(Os inteiros 1 e 3 não estão na faixa aberta; 1 é menor que \tfrac{4}{3} e 3 é igual ao limite superior excluído.)

Passo 8

Calculo os lados para x=2:
2x-1=2\cdot 2-1=4-1=3,
6-x=6-2=4,
3x-1=3\cdot 2-1=6-1=5.
Verificação rápida: 3,4,5 são todos positivos, inteiros e satisfazem a desigualdade triangular (por exemplo 3+4>5, etc.). Está tudo consistente.

Passo 9

Calculando o perímetro, que é a soma dos três lados:
P=3+4+5=12.

Resposta

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