Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
x^{2}y'+x(x+2)y=e^{x}.
Informações dadas:
\;x é a variável independente, \;y=y(x) é a função desconhecida, e a equação envolve y', a derivada de y em relação a x.
Observação importante: há fatores x e x^{2} multiplicando derivadas e y, logo x=0 é um ponto singular da equação; portanto a solução geral será válida para x\neq0.

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão (ou seja, isolando y' com coeficiente 1). Para isso dividimos ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq0):
y' + \frac{x(x+2)}{x^{2}}\,y = \frac{e^{x}}{x^{2}}.
Agora simplificamos o coeficiente de y:
\frac{x(x+2)}{x^{2}} = \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}.
Logo a equação em forma padrão fica
y' + \left(1+\frac{2}{x}\right)y = \frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 3

Vou explicar o método que vamos usar (integradora multiplicativa). Para uma equação na forma
y' + p(x)y = q(x),
definimos o fator integrante (integradora) \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Esse fator tem a propriedade útil de transformar o lado esquerdo numa derivada de produto:
\big(\mu(x)y\big)' = \mu(x)\big(y' + p(x)y\big).
Aqui p(x)=1+\dfrac{2}{x}. Vou calcular \mu(x).

Passo 4

Calcular \mu(x):
\int p(x)\,dx = \int\left(1+\frac{2}{x}\right)dx = \int 1\,dx + 2\int \frac{1}{x}\,dx = x + 2\ln|x| + C_0.
Como o fator integrante pode ser multiplicado por uma constante arbitrária sem alterar o método, tomamos C_0=0 e
\mu(x)=\exp\big(x+2\ln|x|\big).
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo (exp(a+b)=exp(a)exp(b) e \exp(2\ln|x|)=|x|^{2}),
\mu(x)=e^{x}|x|^{2}.
Mas |x|^{2}=x^{2} para todo x, então, para x\neq0,
\mu(x)=x^{2}e^{x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação em forma padrão por \mu(x). A equação padrão era
y' + \left(1+\frac{2}{x}\right)y = \frac{e^{x}}{x^{2}},
portanto multiplicando por \mu(x)=x^{2}e^{x} obtemos, pelo motivo explicado no Passo 3,
\big(x^{2}e^{x}y\big)' = x^{2}e^{x}\cdot\frac{e^{x}}{x^{2}}.
No lado direito temos simplificação de x^{2}, ficando
\big(x^{2}e^{x}y\big)' = e^{2x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{2}e^{x}y\big)'\,dx = \int e^{2x}\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada é simplesmente o próprio produto:
x^{2}e^{x}y = \int e^{2x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Calcular a integral do lado direito:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Portanto
x^{2}e^{x}y = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 8

Isolar y dividindo por x^{2}e^{x} (novamente válido para x\neq0):
y = \frac{\frac{1}{2}e^{2x} + C}{x^{2}e^{x}}.
Separando os termos:
y = \frac{1}{2}\,\frac{e^{2x}}{x^{2}e^{x}} + C\frac{1}{x^{2}e^{x}}.
Simplificando os expoentes ( e^{2x}/e^{x}=e^{x}):
y = \frac{e^{x}}{2x^{2}} + \frac{C e^{-x}}{x^{2}}.

Passo 9

Interpretação final: C é uma constante arbitrária real. A solução geral encontrada é válida para x\neq0 (porque dividimos por x^{2} no início). Podemos ainda reescrever a constante multiplicando por qualquer combinação, mas esta forma é suficiente e clara.

Resposta

y(x)=\frac{e^{x}}{2x^{2}}+\frac{C\,e^{-x}}{x^{2}},\quad x\neq0.

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