Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x}
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x}
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
Informações dadas:
é a variável independente,
é a função desconhecida, e a equação envolve
, a derivada de
em relação a
.
Observação importante: há fatores e
multiplicando derivadas e
, logo
é um ponto singular da equação; portanto a solução geral será válida para
.
Observação importante: há fatores
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão (ou seja, isolando
com coeficiente
). Para isso dividimos ambos os lados por
(válido para
):
Agora simplificamos o coeficiente de
:
Logo a equação em forma padrão fica
Passo 3
Vou explicar o método que vamos usar (integradora multiplicativa). Para uma equação na forma
definimos o fator integrante (integradora)
por
Esse fator tem a propriedade útil de transformar o lado esquerdo numa derivada de produto:
Aqui
. Vou calcular
.
Passo 4
Calcular
:
Como o fator integrante pode ser multiplicado por uma constante arbitrária sem alterar o método, tomamos
e
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo (exp(a+b)=exp(a)exp(b) e
),
Mas
para todo
, então, para
,
Passo 5
Multiplicamos a equação em forma padrão por
. A equação padrão era
portanto multiplicando por
obtemos, pelo motivo explicado no Passo 3,
No lado direito temos simplificação de
, ficando
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada é simplesmente o próprio produto:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calcular a integral do lado direito:
Portanto
Passo 8
Isolar
dividindo por
(novamente válido para
):
Separando os termos:
Simplificando os expoentes (
):
Passo 9
Interpretação final:
é uma constante arbitrária real. A solução geral encontrada é válida para
(porque dividimos por
no início). Podemos ainda reescrever a constante multiplicando por qualquer combinação, mas esta forma é suficiente e clara.