Seja v(t) a velocidade de um objeto de massa m em queda livre perto da superfície terrestre. Supondo que a resistência do ar seja proporcional a v^{2}, então v satisfaz a equação diferencial
m \frac{d v}{d t}=-g+k v^{2}
Com alguma constante k>0.
(15 pontos)a) Denotando por \alpha=\sqrt{\frac{g}{k}}, reescreva a equação diferencial como
Em seguida, resolva usando separação de variáveis com condição inicial v(0)=0. (5 pontos ) b) Mostre que a velocidade terminal \lim _{n \rightarrow \infty} v(t) é igual a -\alpha.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
m\frac{dv}{dt}=-g+k v^{2},
com constante k>0, e define
\alpha=\sqrt{\frac{g}{k}}.
As tarefas pedidas são duas, claramente separadas:
(a) reescrever a equação diferencial usando \alpha na forma indicada
e, em seguida, resolver essa equação por separação de variáveis com condição inicial v(0)=0;
(b) mostrar que a velocidade terminal \lim_{t\to\infty} v(t) vale -\alpha.
Tenho essas informações iniciais: m (massa), g (aceleração da gravidade), k>0 (constante de resistência do ar), \alpha=\sqrt{g/k}, e condição v(0)=0. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação usando \alpha. Como \alpha^{2}=\dfrac{g}{k}, multiplico por -k e obtenho
Separar variáveis significa colocar todos os termos com v na mesma fração à esquerda e t à direita. Faço isso dividindo ambos os lados por v^{2}-\alpha^{2} e multiplicando por dt:
\frac{dv}{v^{2}-\alpha^{2}}=\frac{k}{m}\,dt.
Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Explico como integrar a integral à esquerda. A função 1/(v^{2}-\alpha^{2}) pode ser decomposta em frações simples. Procuro A e B tais que
Elimino o logaritmo exponenciando. Escrevo a constante exponenciada como uma constante arbitrária C (que pode ser negativa, então é mais simples trabalhar sem o valor absoluto no próximo passo):
que satisfaz v(0)=0 (pois \operatorname{tanh}(0)=0) e é contínua para t\ge 0.
Passo 8
Verifico o comportamento para t\to\infty. Sabemos que \operatorname{tanh}(x)\to 1 quando x\to\infty. Como \dfrac{\alpha k}{m}>0, o argumento da \operatorname{tanh} vai para +\infty quando t\to\infty. Portanto